Графическое решение игр 2*n и m*2

Рассмотрим игру (2*n) с матрицей

A=

Выигрыш 1-го игрока H(p,y_k)=p₁a_1k + p₂a_2k = p₁a_1k + (1-p₁)a_2k,

На плоскости такая зависимость изображается отрезком прямой, причем при p=0 H(p,y_k)=a_2k, p=1 H(p,y_k)=a_1k

Таким образом, получаем семейство из n прямых:

Исходя из условия гарантированного выигрыша, его величина при разных значениях р будет определяться нижней границей множества этих прямых. Очевидно, что оптимальная стратегия соответствует той точке полученного множества, в которой значение функции максимально, а само это максимальное значение есть значение игры.

Рабочими стратегиями 2-ого игрока являются в данном случае 3я и 4я, а значит, оптимальная стратегия 1-ого игрока определяется из системы уравнений:

q₃ + q₄ = 1

a₂₃q₃ + a₂₄q₄ = v

Рассмотрим теперь игру (m*2) с матрицей

Эту игру удобно рассматривать для второго игрока. Как и в предыдущем случае, строится семейство из m отрезков прямых, отображающих зависимость величины функции выигрыша 2го игрока от выбираемой им стратегии:

Н(x_i,q)= a_i1q + a_i2(1-q), ,

Исходя из разумности поведения 1-ого игрока, проигрыш 2-ого определяется верхней огибающей семейства этих прямых. Значения q* и v находятся как абсцисса и ордината нижней вершины огибающей, а затем оптимальная стратегия 2-ого игрока определяется исходя из его рабочих стратегий (в данном случае рабочими стратегиями 2-ого игрока являются x_r и x_e), аналогично предыдущему случаю.

Во всех этих случаях число рабочих стратегий обоих игроков одинаково.

Бесконечные антагонистические игры

Антагонистическая игра называется бесконечной, если хотя бы у одного из двух игроков существует бесконечное множество стратегий.

Рассмотрим общие сведения об этих играх.

Имеется игра Г=<X,Y,H>, X и Y — произвольные множества элементов . На каждую ситуацию (x,y) определена функция H=H(x,y), задающая выигрыш 1-ого и проигрыш 2-ого игрока. Обычно считают, что x и y — непрерывно меняющиеся параметры. Функция H(x,y) может быть непрерывной или кусочно-непрерывной.

В бесконечном варианте принцип разумности в поведении игроков сохраняется: 1-ый игрок стремится увеличить свой выигрыш за счет выбора стратегии x , а 2-ый стремится уменьшить свой проигрыш за счет выбора своей стратегии y .

Как и в конечном варианте игры, величину называют нижней ценой игры, — верхней ценой игры. Если , это бесконечная игра с седловой точкой (седловая точка — точка равновесия).

Если (x₀,y₀) — точка равновесия, то H(x,y₀) H(x₀,y₀) H(x₀,y). Любое отклонение от x₀ приводит к уменьшению выигрыша 1-ого игрока, а отклонение от y₀ — к увеличению проигрыша 2-ого.

В геометрии седлообразная точка не зависит от направления, вдоль которого функция возрастает или убывает. В данном случае седловая точка максимальна по x и минимальна по y

Функция H(x,y) должна быть аналитической, т.е. должны существовать ее первые производные по x и по y.

В теории игр нередко максимум и минимум принадлежат границам множеств Х или Y, а не являются внутренней точкой. В общем случае решение нужно искать в смешанном расширении игры.

Общих методов решения бесконечных антагонистических игр в настоящее время не разработано. В литературе описываются некоторые частные виды таких игр, которые предполагают достаточно простое решение, например, строго выпуклые игры на единичном квадрате.