2.2. Обработка данных наблюдений с помощью метода наименьших квадратов

Пусть в результате наблюдений получена таблица значений параметра при изменении другого параметра в заданных пределах. Требуется установить зависимость . Для этого наносят на плоскость Y0X точки, координаты которых соответствуют значениям данных наблюдений, и проводят кривую, расположенную как можно ближе ко всем точкам. По внешнему виду этой кривой записывают ее аналитическое выражение в общем виде, т.е. в виде функции .

В математике замена истинной зависимости некоторой приближенной , при которой отклонение от на рассматриваемом отрезке было бы возможно малым, называется аппроксимацией. Функция называется аппроксимирующей функцией. Следовательно, задача сводится к установлению аппроксимирующей функции .

Для аппроксимации абсолютных частот (пример 1) принимаем функцию вида

(1)

Возникает задача определения коэффициентов наилучшим образом, т.е. установления таких значений этих параметров, при которых построенная по формуле (1) кривая имела бы минимальные отклонения от всех точек наблюдений.

Существует много методов определения параметров аппроксимирующей функции, но чаще всего используют метод наименьших квадратов. Рассмотрим суть этого метода.

Запишем разность между значениями аппроксимирующей функции и таблично заданной функцией для каждого таблично заданного :

(2)

Эта разность называется отклонением аппроксимирующей функции от ее табличного значения. В методе наименьших квадратов сводят к минимуму сумму квадратов отклонений, т.е.

(3)

где n - количество данных наблюдений.

Условие минимума суммы самих отклонений, а не их квадратов, не решает проблемы, так как сумма отклонений может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонения очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.

Так как и известны, то сумма (3) есть функция параметров Обозначим ее через Эта сумма всегда положительна и имеет минимум. Для рассматриваемого случая сумма имеет вид:

(4)

Выражение (4) представляет собой математическую запись метода наименьших квадратов.

Для оценки согласованности полученной функции с данными наблюдений используют среднеквадратичную ошибку

(5)

Если , то аппроксимирующая функция согласуется с данными наблюдений. Здесь - допустимая погрешность аппроксимации.

Следовательно, задача аппроксимации относится к оптимизационным задачам: в качестве целевой функции выступает сумма квадратов отклонений; ограничений и граничных условий для определяемых параметров нет, так как могут принимать любые значения. Для ее решения целесообразно использовать надстройку «Поиск решения» приложения Excel.

Размещение информации приведено в таблице 5.

Как видно из таблицы 5, в диапазон ячеек A4:B10 введены данные статистического ряда. Для размещения значений параметров аппроксимирующей функции выделены ячейки A2:В2, значения самой аппроксимирующей функции после оптимизации будут находиться в ячейках С4:С10 (mp- обозначение аппроксимирующей функции) и значение целевой функции в ячейке D2.

Для расчета аппроксимирующей и целевой функций нужно ввести формулы:

• в ячейку С4 - =$a$2*EXP(-$b$2*a4);

• в ячейку D2 - = СУММКВРАЗН(c4:c10;b4:b10).

Чтобы при копировании не изменялись адреса ячеек, записывают их абсолютные адреса.

В ячейку С4 запишется нуль, так как перед оптимизацией значения неизвестных параметров равны нулю. Кроме того, необходимо ввести формулы для расчета среднеквадратичной погрешности в ячейки:

• D4 - =b4-c4;

• E4 - =d4^2;

• E11 - =CУММ(e4:e10);

• E12 - =КОРЕНЬ(e11/175), где 175 – объем выборки.

Формулы, записанные в строку 4, скопировать совместно в диапазон ячеек С5:Е10.

Таблица 5. Размещение информации на рабочем листе ЭТ

В мастере функций имеется функция СУММКВРАЗН – сумма квадратов разностей. Для её выбора и работы с ней следует:

• установить курсор на ячейку D2, в которую должна записываться формула расчета целевой функции, и щелкнуть на кнопке стандартной панели инструментов. Раскроется диалоговое окно Мастер функций;

• выбрать в списке Категории  Математические, а в списке Функции  СУММКВРАЗН;

• щелкнуть мышью на кнопке ОК. Раскроется диалоговое окно функции СУММКВРАЗН.

• в поле массив Х диалогового окна этой функции ввести диапазон ячеек С4:С10, в поле массив У – диапазон ячеек B4:B10. Первоначально в ячейку запишется большое число, после оптимизации это число значительно уменьшится.