- •Введение
- •Вещественная форма ряда Фурье
- •Комплексная форма ряда Фурье
- •Спектр периодической функции
- •Преобразование Фурье
- •Свойства преобразования Фурье
- •Спектр дискретного сигнала
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Растекание спектра
- •Лабораторная установка и выполнение измерений
- •Задания
- •Приложение 1. Отрезок синусоиды
- •Литература
Задания
Аналитически рассчитать спектральные функции заданных преподавателем периодических сигналов простой формы (прямоугольный видеоимпульс, треугольный импульс, экспоненциальный импульс и др.). Построить графики амплитудного и фазового спектра этих сигналов.
Выполнить Фурье–анализ перечисленных сигналов в MATLAB, используя быстрое преобразование Фурье (FFT). Построить соответствующие графики амплитудных и фазовых спектров в области положительных и отрицательных частот (используя функции fft, fftshift, stem, предварительно посмотрев их в документации). Амплитуды гармоник и их частоты на графиках должны соответствовать их значениям в заданном сигнале. Особое внимание обратить на влияние соотношения длительности импульсов и времени записи сигнала на спектр сигнала, объяснить результат. Для каждого типа сигнала в одних и тех же координатах построить графики амплитудных спектров, найденных аналитически (задание 1) и численно рассчитанных.
С помощью команды FFT найти и сравнить спектры отрезков синусоиды, состоящих из целого и не целого числа периодов.
Провести спектральный анализ отрезка синусоиды, состоящего из нескольких периодов. Проследить, как меняется спектр в зависимости от числа периодов.
С помощью цифрового осциллографа L-Graph пронаблюдать искажение сигнала в результате нарушения теоремы Котельникова. Для этого подключить аналоговый генератор гармонического сигнала к L-Card, задать частоту квантования, например, 20кГц, и, плавно меняя частоту генератора в диапазоне от 1кГц до 20кГц, наблюдать за частотой оцифрованного сигнала, объяснить наблюдаемые эффекты.
Установить частоту квантования 100кГц, частоту генератора гармонического сигнала 10кГц, амплитуду 1В. Записать отрезок гармонического сигнала длительностью 0,01с и построить в MATLAB его амплитудный спектр. При этом частоты и амплитуды на графике должны соответствовать тем, которые есть на самом деле.
Используя результаты, полученные в первом задании, аппроксимировать прямоугольный импульс конечным числом слагаемых тригонометрического ряда. Сравнить на одном графике исходный импульс и аппроксимированный двумя первыми гармониками, десятью первыми гармониками.
Приложение 1. Отрезок синусоиды
Для выполнения одного из заданий потребуется написать программу для вычисления спектра синусоиды, ниже приведён пример такой программы. В начале программы определяются параметры, задающие длительность сигнала в периодах и количество периодов. Меняя эти параметры можно получить различные варианты отрезка синусоиды.
clear, clc, close all
f0 = 1000; % частота синуса
N1 = 20; % длительность всего трезка в периодах
N2 = 10; % количество отсчётов на период
N3 = 2; % количество периодов
N = N1*N2; % количество отсчётов во всей записи
fs = f0*N2; % частота квантования
% создаём сигнал
t = (0:(N-1))/fs; % время
x = zeros(1,N);
x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% вычисляем спетр
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;
figure
subplot(2,1,1), plot(t,x,'k'), xlabel('t, с'), ylabel('x(t)')
subplot(2,1,2), stem(f,X,'k.'), xlabel('f, Гц'), ylabel('|X|')