Комплексная форма ряда Фурье

Другая, комплексная форма тригонометрического ряда, получается, если записать синусы и косинусы в (2) через комплексные экспоненты:

(4)

Коэффициенты вещественной и комплексной формы связаны между собой соотношениями:

(5)

Используя формулы (5), из (3) получим выражения для коэффициентов комплексной формы тригонометрического ряда. Эти коэффициенты могут быть записаны для любого номера k следующим образом

(6)

Тригонометрический ряд в комплексной форме равномерно сходится к функции , если сходятся ряды и . Это будет выполнено, если исходная функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Спектр периодической функции

Введем понятие спектра периодической функции. Оно основывается на возможности представления сигнала либо в виде вещественного ряда Фурье (1), либо в виде комплексного ряда (4). Это означает, что вещественные коэффициенты и , или комплексные коэффициенты несут полную информацию о периодической с известным периодом функции. Набор коэффициентов и называется вещественным спектром сигнала. Коэффициенты несут в себе информацию о том, из каких по амплитуде гармонических сигналов состоит исходный сигнал (частоты отдельных гармоник не зависят от формы сигнала и равны ). Поэтому набор называется амплитудным спектром. Коэффициенты определяют фазы отдельных гармоник, их совокупность называется фазовым спектром.

В результате использования комплексной формы ряда (4) получают комплексный спектр сигнала – набор комплексных коэффициентов . В отличие от вещественного спектра, комплексный спектр определен как для положительных, так и для отрицательных частот. Ниже мы покажем, что модули этих коэффициентов определяют амплитуды гармоник и поэтому могут называться амплитудным спектром, а аргументы (фазовый спектр) определяют начальные фазы гармоник. Из формулы (6) следует, что если функция вещественна, то . Из этого соотношения вытекает свойство четности для амплитудного комплексного спектра и нечетность для фазового.

Посмотрим, как связаны между собой вещественный и комплексный спектры. Запишем ряд (4) в виде

(7)

Слагаемые с отрицательными номерами могут быть выражены через слагаемые с положительными номерами, так как и . Тогда останется только сумма с положительными номерами

(8)

После суммирования экспонент с одинаковыми номерами получим следующее выражение:

(9)

Сравнивая ряды (1) и (9), получим искомую связь вещественного и комплексного спектров: и .

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных гармоник, его называют дискретным или линейчатым. Частоты гармоник обратно пропорциональны периоду , то есть если, например, увеличить период в 2 раза, то гармоники в спектре станут располагаться в два раза ближе друг к другу. Для спектров характерно, что чем уже импульс, тем шире его спектр.

Преобразование Фурье

В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в тригонометрический ряд, то есть в ряд по отдельным гармоникам. В этом разделе приводится преобразование Фурье для непериодических сигналов. Пусть – непрерывно дифференцируемая абсолютно интегрируемая на всей оси функция: . Непериодический сигнал может быть рассмотрен как периодический, но с бесконечно большим периодом. Сделав предельный переход от конечного к бесконечно большому периоду сигнала в формулах (6) и (4), получим формулы для прямого преобразования Фурье:

(10)

и обратного:

(11)

Функцию называют также спектром функции . Таким образом, спектр непериодического сигнала – сплошной (в отличие от линейчатого спектра периодического сигнала), он определен на всей оси частот.