1. Дуговая координата и путь. Направление движения
Скорость V точки и закон ее движения по траектории, т. е. закон S = f(t) изменения ее дуговых координат с течением времени, связаны зависимостями
и
,
где S0 – значение дуговой координаты точки в начальный момент времени, S0 = ОМ0 = 25 м.
Определенный
интеграл
можно вычислить (в соответствии с его
геометрическим смыслом) с помощью
графика изменения скорости.
Имеем (за промежуток времени от 0 до 2 с, рис П.6, б):
а за промежуток времени от 6 до 12 с:
и т. д.
С учетом этого находим значение дуговых координат в интересующие моменты времени. Результаты вычислений заносим в таблицу, а на рисунке траектории указываем положение точки в эти моменты (точка М0, М1, М2 и т. д.)
В отличие от дуговой координаты точки путь, пройденный ею за любой промежуток времени, не может быть отрицательным и складывается из модулей приращений дуговых координат за эти промежутки:
.
Результаты и этих вычислений заносим в таблицу.
Дуговая координата точки и пройденный путь
Моменты времени t, с |
0 |
2 |
5 |
6 |
10 |
12 |
Дуговая координата точки в момент времени t, м |
25 |
45 |
105 |
115 |
95 |
85 |
Путь, пройденный точкой к моменту t, м |
0 |
20 |
80 |
90 |
110 |
120 |
Из таблицы и рисунка, на котором указаны последовательные положения точки на траектории в различные моменты времени, следует:
1) точка двигалась в положительном направлении из положения М0 в положение М3, пройдя путь 90 м;
2) в момент времени 6 с произошла мгновенная остановка точки и она начала двигаться в обратном направлении: дуговая координата начала уменьшаться, а пройденный путь, естественно, продолжал увеличиваться;
3) в момент времени 12 с точка попала в положение М5 на расстоянии 85 м от точки О, отсчитываемом вдоль траектории. Здесь произошла ее остановка.
За весь промежуток времени от t0 с до t5 = 12 с точка прошла путь 120 м.
2. Касательное ускорение. Характер движения точки
Из графика движения точки видно, что величина скорости точки изменяется. Изменение величины скорости описывается ее касательным ускорением
.
Поскольку график
изменения скорости состоит из прямолинейных
кусочков, то
можно
определить на каждом интервале плавного
изменения скорости по формуле:
.
Так, на промежутке времени от t0 = 0 с до t1 = 2 с имеем:
м/с;
с.
Поэтому здесь
м/с2.
На промежутке
времени от t1
= 2 с до t2
= 5 с:
и, следовательно,
.
А на промежутке от t2
= 5 с до t3
= 6 с:
м/с и
с.
Тогда
м/с2
и т. д.
Полностью график изменения касательного ускорения точки показан на рис. 6, г. После анализа вышеуказанного рисунка, а также исходного графика изменения скорости, можно сделать следующие выводы:
в промежуток времени от t0 = 0 с до t1 = 2 с точка движется ускоренно (знаки и – одинаковые). Причем
и, следовательно, движение происходит
в положительном направлении (в сторону
возрастания дуговой координаты).
Наконец, т. к.
,
то движение точки равноускоренное;на промежутке времени от t1 = 2 с до t2 = 5 с V = const (равномерное движение). Так как , то движение точки происходит в положительном направлении;
от t2 = 5 с до t3 = 6 с точка движется равнозамедленно, но все еще в положительном направлении;
на промежутке времени от t3 = 6 с до t4 = 10 с точка движется равноускоренно назад (
и
;
).на последнем промежутке времени от t4 = 10 с до t5 = 12 с точка движется равнозамедленно, в отрицательном направлении ( и
;
)