- •Лекция № 1 Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.
- •1. Основные понятия теории вероятностей.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики.
- •Лекция № 2 Алгебра событий. Аксиомы тв. Основные теоремы теории вероятностей. Модели надежности технических систем
- •1. Алгебра событий.
- •3. Основные теоремы теории вероятностей
- •Определение 4.
- •4. Модели надежности технических систем
- •Лекция № 3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •1. Формула полной вероятности.
- •2. Формула Байеса.
- •1. Повторение опытов (схема Бернулли).
- •2. Формула Бернулли
- •3. Локальная теорема Лапласа
- •4. Интегральная теорема Лапласа
- •5. Наивероятнейшее число наступления событий.
- •Лекция № 5 Случайные величины.
- •1. Дискретные случайные величины.
- •Формы задания закона распределения дискретной случайной величины
- •2.1. Ряд распределения.
- •2.2. Многоугольник распределения.
- •2.3. Интегральная функция распределения.
- •2. Многоугольник распределения
- •3. Интегральная функция распределения
- •3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Лекция № 6 Числовые характеристики случайных величин.
- •1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси.
- •Математическое ожидание не случайное число, которое в зависимости от типа случайной величины определяется по формуле:
- •На рис.6.2 показана мода непрерывной унимодальной (с одной модой) случайной величины, заданной плотностью распределения.
- •2. Моменты случайных величин. Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
- •3. Свойства моментов случайных величин. Особого внимания заслуживают свойства начальных и центральных моментов первого и второго порядков.
- •Первый центральный момент μ1 любой случайной величины равен нулю.
- •Математическое ожидание.
- •Дисперсия.
- •Среднее квадратичное отклонение.
- •1.2. Закон распределения Пуассона Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок.
- •2. Законы распределения непрерывных случайных величин.
- •2.1. Равномерный закон распределения
- •Если участок [α,β] не входит в диапазон [a,b], то выражение (7.17) не является справедливым. В этом случае необходимо руководствоваться выражением если (7.18)
- •2.2. Показательный закон распределения
- •2.3. Нормальный закон распределения
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •Поскольку 2-й центральный момент
- •4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Поскольку то (7.31) перепишется как
- •3. Правило трех сигм
- •Лекция № 8 Основные задачи математической статистики. Определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных.
- •Предмет и задачи математической статистики.
- •Основные понятия.
- •3. Простейшие приемы обработки результатов наблюдений.
- •3.1 Статистическое распределение выборки.
- •Гистограмма.
- •Эмпирическая функция распределения
- •Лекция №2. Выравнивание статистических рядов. Проверка статистических гипотез.
- •Лекция №3. Оценка параметров случайных величин.
4. Модели надежности технических систем
Теория вероятностей играет первостепенную роль в теории надежности, предоставляя ей строгий математический аппарат. В частности, расчет надежности технических систем полностью базируется на основных теоремах теории вероятностей и является удачной иллюстрацией их использования в инженерной практике.
Определение 6.
Под надежностью технической системы понимается вероятность её безотказной работы за определенный период времени Т.
Основные теоремы теории вероятностей позволяют определять вероятность безотказной работы системы по известным вероятностям безотказной работы отдельных ее элементов.
Элементы системы могут различным образом объединяться в систему.
В зависимости от способа объединения различают системы с
последовательным;
параллельным;
мостовым;
смешанным соединением элементов.
Последовательным соединением элементов называется такое соединение элементов, при котором входом каждого следующего элемента является выход предыдущего.
Будем считать, что при последовательном соединении элементов система находится в работоспособном состоянии только тогда, когда работают все ее элементы (отказ системы наступает тогда, когда отказывает хотя бы один элемент системы).
Обозначим Р – надежность всей системы, рi – надежность i – го элемента. Определим значение Р.
Модель системы из n последовательно соединенных элементов
Рис.2.2
Сейчас и в дальнейшем будем считать, что система разбита на элементы так, что отказ любого из них ни в коей степени не влияет на отказ остальных элементов.
Примером такой системы может служить гирлянда последовательно соединенных лампочек. Выход из строя хотя бы одной лампочки влечет за собой выход из строя всей гирлянды.
Введем обозначения. Пусть:
А – безотказная работа системы. Р = Р(А).
Аi – безотказная работа i-го элемента. Р(Аi)=рi..
А = А1А2...Аi...Аn/
А1, А2, ...,Аi, ...,Аn – события независимые, значит
Р(А) = Р(А1)Р(А2)...Р(Аi)...Р(Аn),
или в сокращенном виде:
-
(2.5)
Выражение (2.5) является математической моделью надежности системы последовательно соединенных элементов.
Анализ модели показывает, что при , вероятность безотказной работы системы , поскольку все сомножители pi < 1 . Это значит – чем сложнее система, тем ниже её надежность. Слишком сложная система неработоспособна!
Параллельным соединением элементов называется такое соединение элементов при котором все элементы имеют общий вход и общий выход.
Будем считать, что при параллельном соединении элементов система выходит из строя, если не работают все ее элементы.
Модель системы из n параллельно соединенных элементов
Примером такой системы может служить система светильников в аудитории. При выходе из строя одно или нескольких светильников остальные продолжают освещать аудиторию.
Введем обозначения. Пусть:
А – безотказная работа системы. Р = Р(А).
Ā – система отказала
Аi – безотказная работа i-ого элемента Р(Аi)= рi,
Āi – отказ i-го элемента Р(Āi) = 1 – Р(Аi)= 1 – рi,
Ā =Ā1Ā2 ... Āi ... Ān
Ā1, Ā2, ... Āi, ... Ān – события независимые.
Р( Ā ) = Р( Āi ) = 1 – Р(Аi)= (2.7)
Р(А) =1 – Р(Ā)
-
(2.8)
Выражение (2.8) является математической моделью надежности системы параллельно соединенных элементов.
Анализ модели показывает, что при , вероятность безотказной работы системы , поскольку произведение .
Таким образом, ввод в систему дополнительных параллельных ветвей способствует повышению надежности системы. Так, для достижения должной надежности функционирования инженерных сетей часто прибегают к их распараллеливанию, а для повышения надежности работы приборов – к дублированию (и даже троированию) основных его узлов.
Смешанное соединение элементов
Реальные технические системы, как правило, представляют собой сложные комбинации последовательных, параллельных и мостовых соединений.
Для определения надежности такой системы необходимо:
разбить систему на несколько подсистем таким образом, чтобы они были соединены между собой либо последовательно, либо параллельно;
определить надежность каждой из полученных подсистем;
используя соответствующую формулу для последовательно или параллельно соединенных элементов определить надежность всей системы.
Если получаемые подсистемы будут включать как последовательное, так и параллельное соединение элементов, то для определения их надежности применяют ту же процедуру, что и для определения надежности всей системы.
Задача.
Определить надежность системы Р по заданной надежности отдельных элементов.
р1 – вероятность безотказной работы элементов I блока
р2 – вероятность безотказной работы элемента II блока
р3 – вероятность безотказной работы элементов III блока
PI = 1 – (1 –р1)2
PII = р2
PIII = 1 – (1 – р3)3
Р = PI· PII· PIII = 1 – (1 –р1)2 р2[1 – (1 – р3)3