3. Основные теоремы теории вероятностей

Основные теоремы теории вероятностей позволяют по известным вероятностям простых событий определять вероятности более сложных событий.

Теорема 1. Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух событий А и В равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения этих же событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В). (2.1)

Доказательство. Пусть исходы опыта образуют полную группу n несовместных равновозможных событий (рис.2.1). При этом

• m из них благоприятны событию А;

• k из них благоприятны событию В;

• l из них благоприятны произведению событий А ·В.

Рис.2.1

Тогда согласно классической формуле определения вероятности:

Согласно той же формуле вероятность появления события А или В

Преобразуем последнее равенство:

что и требовалось доказать.

Следствие теоремы 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) .

(2.2)

Следствие очевидно, поскольку произведение несовместных событий представляет собой невозможное событие, а вероятность невозможного события равна нулю:

Следствие легко обобщается на случай нескольких событий.

Определение 4.

События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или не произошло.

Пример 5.

Опыт – два раза подбрасывается монета.

Событие А - появление герба при первом бросании монеты.

Событие В - появление герба при втором бросании монеты.

События независимы.

Пример 6.

Опыт – выбор шара из урны с двумя белыми и одним черным шарами.

Событие А - появление белого шара при первом вынимании.

Событие В - появление белого шара при втором вынимании.

События зависимые.

Определение 5.

Для зависимых событий А и B вероятность события B, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(с) или Р_А(В).

Для примера 6.

Р(А)= , Р(B/А) = .

Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий А и В равна вероятности события А, умноженной на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло, или равна вероятности события В, умноженной на условную вероятность события А при условии, что событие В произошло

Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р (B/А ) = Р(В) ∙Р (А/ B) . (2.3)

Доказательство. Пусть исходы опыта образуют полную группу n несовместных равновозможных событий (рис.2.1). При этом

• m из них благоприятны событию А;

• k из них благоприятны событию В;

• l из них благоприятны произведению событий А ·В.

Тогда согласно классической формуле определения вероятности:

Преобразуем равенство:

Таким образом, теорема доказана.

Следствие теоремы 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Р(А·В) = Р(А) · Р (В) .

(2.4)

Следствие довольно просто объясняется, если принять во внимание, что для независимых событий условные вероятности совпадают с безусловными:

Р(А/B)= P(A); Р (B/А ) = P(В) .

Следствие легко обобщается на случай нескольких событий.

Пример 7.

Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень в каждом выстреле одинакова и равна 0,9. Найти вероятность того, что в мишени будет только две пробоины.

Решение.

Опыт – три выстрела по мишени.

Событие A – после трех выстрелов в мишени будет только две пробоины.

Введем обозначения:

A₁ – попадание при первом выстреле, Р(A₁)=0,9;

₁– промах при первом выстреле; Р( ₁) = 1– Р(A₁)=1– 0,9=0,01;

A₂ – попадание при втором выстреле, Р(A₂)=0,9;

₂ – промах при втором выстреле; Р( ₂) = 1 – Р(A₂)=1– 0,9=0,01;

A₃ – попадание при третьем выстреле, Р(A₃)=0,9;

₃ – промах при третьем выстреле, Р( ₃) = 1 – Р(A₃)=1– 0,9=0,01.

Тогда событие A можно разложить на простые следующим образом:

А = A₁A_{2 3} + A_{1 2}A₃ + ₁A₂A₃ .

Поскольку слагаемые в приведенном разложении соответствуют несовместным событиям, то вероятность события A будет равна сумме вероятностей этих событий (следствие теоремы 2.1):

Р(А) = Р(A₁A_{2 3} + A_{1 2}A₃ + ₁A₂A₃)= Р(A₁A_{2 3}) + Р(A_{1 2}A₃) + Р( ₁A₂A₃) .

А поскольку все выстрелы являются независимыми между собой, то каждое слагаемое в последнем выражении можно представить как произведение вероятностей простых событий (следствие теоремы 2.2)

Р(А) = Р(A₁)Р( A₂)Р( ₃) + Р(A₁)Р( ₂)Р(А₃) +Р( ₁)Р( A₂)Р(А₃)=

= 0,9· 0,9· 0,1+0,9·0,1· 0,9+0,1· 0,9· 0,9=3· 0,9· 0,9· 0,1=0,243.