- •Лекция № 1 Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.
- •1. Основные понятия теории вероятностей.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики.
- •Лекция № 2 Алгебра событий. Аксиомы тв. Основные теоремы теории вероятностей. Модели надежности технических систем
- •1. Алгебра событий.
- •3. Основные теоремы теории вероятностей
- •Определение 4.
- •4. Модели надежности технических систем
- •Лекция № 3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •1. Формула полной вероятности.
- •2. Формула Байеса.
- •1. Повторение опытов (схема Бернулли).
- •2. Формула Бернулли
- •3. Локальная теорема Лапласа
- •4. Интегральная теорема Лапласа
- •5. Наивероятнейшее число наступления событий.
- •Лекция № 5 Случайные величины.
- •1. Дискретные случайные величины.
- •Формы задания закона распределения дискретной случайной величины
- •2.1. Ряд распределения.
- •2.2. Многоугольник распределения.
- •2.3. Интегральная функция распределения.
- •2. Многоугольник распределения
- •3. Интегральная функция распределения
- •3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Лекция № 6 Числовые характеристики случайных величин.
- •1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси.
- •Математическое ожидание не случайное число, которое в зависимости от типа случайной величины определяется по формуле:
- •На рис.6.2 показана мода непрерывной унимодальной (с одной модой) случайной величины, заданной плотностью распределения.
- •2. Моменты случайных величин. Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
- •3. Свойства моментов случайных величин. Особого внимания заслуживают свойства начальных и центральных моментов первого и второго порядков.
- •Первый центральный момент μ1 любой случайной величины равен нулю.
- •Математическое ожидание.
- •Дисперсия.
- •Среднее квадратичное отклонение.
- •1.2. Закон распределения Пуассона Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок.
- •2. Законы распределения непрерывных случайных величин.
- •2.1. Равномерный закон распределения
- •Если участок [α,β] не входит в диапазон [a,b], то выражение (7.17) не является справедливым. В этом случае необходимо руководствоваться выражением если (7.18)
- •2.2. Показательный закон распределения
- •2.3. Нормальный закон распределения
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •Поскольку 2-й центральный момент
- •4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Поскольку то (7.31) перепишется как
- •3. Правило трех сигм
- •Лекция № 8 Основные задачи математической статистики. Определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных.
- •Предмет и задачи математической статистики.
- •Основные понятия.
- •3. Простейшие приемы обработки результатов наблюдений.
- •3.1 Статистическое распределение выборки.
- •Гистограмма.
- •Эмпирическая функция распределения
- •Лекция №2. Выравнивание статистических рядов. Проверка статистических гипотез.
- •Лекция №3. Оценка параметров случайных величин.
1. Математическое ожидание.
(7.27)
2. Дисперсия.
(7.28)
3. Среднее квадратичное отклонение.
(7.29)
Центральные моменты.
Центральные моменты любого порядка нормально распределенной случайной величины определяется рекуррентным соотношением
(7.30)
Зная 1-й и 2-й центральные моменты, можно легко найти любой другой.
Поскольку 1-й центральный момент для всех случайных величин равен нулю, то все центральные нечетные моменты для нормально распределенной случайной величины также равны нулю.
Поскольку 2-й центральный момент
то все четные центральные моменты нормально распределенной случайной величины легко определяются с помощью выражения (5.29):
Поскольку все нечетные центральные моменты для нормально распределенной случайной величины равны нулю, то коэффициент асимметрии также равен нулю:
Коэффициент островершинности (величина эксцесс) для нормально распределенной случайной величины также равен нулю:
4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный участок[a,b] можно получить по известным формулам:
Однако в этом случае интегрирование надо проводить численными методами.
Чтобы избежать сложностей при вычислениях функция распределенной случайной величины Х может быть выражена через частную интегральную функцию Лапласа
(7.30)
т.е. интегральную функцию нормально распределенной случайной величины с параметрами: m = 0; σ = 1. Распределение (7.30) называют стандартным нормальным распределением.
Интегральная функция F(x) нормально распределенной случайной величины связана со стандартной интегральной функцией соотношением
Тогда вероятность попадания случайной величины на заданный участок
(7.31)
На рис.7.8 изображена интегральная функция стандартного нормального распределения (сравни с рис.5.6)
Рассмотрим F*(x) от аргумента x > 0
0
где Ф(х) – функция Лапласа (см. Приложение В).
Поскольку то (7.31) перепишется как
т.е.
(7.32)
Формула (7.32) обладает высокой универсальностью, поскольку позволяет определять вероятность попадания на заданный участок любой нормально распределенной случайной величины независимо от значений её параметров m и σ.
3. Правило трех сигм
Формула (7.32) может быть использована для вычисления вероятности того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного числа . Часто такой расчет требуется в практических задачах, т.е. когда требуется найти вероятность осуществления неравенства
(7.33)
Преобразуем (7.33) в
(7.34)
и подставим в формулу (7.32). Поскольку Ф(х) нечетная функция, т.е. Ф(–х) = –Ф(х), имеем:
т.е. вероятность модуля отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно вычислить по формуле:
(7.35)
Если измерять величину отклонения в единицах , то можно вывести практически полезную закономерность, которая известна как правило трех сигм. Действительно, положим в (5.35) =t. Получим:
Если t=3 и, следовательно, t = 3, то
т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднеквадратичного отклонения, очень велика. Это означает, что вероятность противоположного события, которое заключается в том, что абсолютное отклонение превысит утроенное , очень мала, а именно равна 0,0027. В этом и состоит сущность правила трех сигм.
Правило трех сигм.
Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения.