- •Лекция № 1 Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.
- •1. Основные понятия теории вероятностей.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики.
- •Лекция № 2 Алгебра событий. Аксиомы тв. Основные теоремы теории вероятностей. Модели надежности технических систем
- •1. Алгебра событий.
- •3. Основные теоремы теории вероятностей
- •Определение 4.
- •4. Модели надежности технических систем
- •Лекция № 3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •1. Формула полной вероятности.
- •2. Формула Байеса.
- •1. Повторение опытов (схема Бернулли).
- •2. Формула Бернулли
- •3. Локальная теорема Лапласа
- •4. Интегральная теорема Лапласа
- •5. Наивероятнейшее число наступления событий.
- •Лекция № 5 Случайные величины.
- •1. Дискретные случайные величины.
- •Формы задания закона распределения дискретной случайной величины
- •2.1. Ряд распределения.
- •2.2. Многоугольник распределения.
- •2.3. Интегральная функция распределения.
- •2. Многоугольник распределения
- •3. Интегральная функция распределения
- •3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Лекция № 6 Числовые характеристики случайных величин.
- •1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси.
- •Математическое ожидание не случайное число, которое в зависимости от типа случайной величины определяется по формуле:
- •На рис.6.2 показана мода непрерывной унимодальной (с одной модой) случайной величины, заданной плотностью распределения.
- •2. Моменты случайных величин. Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
- •3. Свойства моментов случайных величин. Особого внимания заслуживают свойства начальных и центральных моментов первого и второго порядков.
- •Первый центральный момент μ1 любой случайной величины равен нулю.
- •Математическое ожидание.
- •Дисперсия.
- •Среднее квадратичное отклонение.
- •1.2. Закон распределения Пуассона Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок.
- •2. Законы распределения непрерывных случайных величин.
- •2.1. Равномерный закон распределения
- •Если участок [α,β] не входит в диапазон [a,b], то выражение (7.17) не является справедливым. В этом случае необходимо руководствоваться выражением если (7.18)
- •2.2. Показательный закон распределения
- •2.3. Нормальный закон распределения
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия.
- •3. Среднее квадратичное отклонение.
- •Поскольку 2-й центральный момент
- •4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
- •Поскольку то (7.31) перепишется как
- •3. Правило трех сигм
- •Лекция № 8 Основные задачи математической статистики. Определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных.
- •Предмет и задачи математической статистики.
- •Основные понятия.
- •3. Простейшие приемы обработки результатов наблюдений.
- •3.1 Статистическое распределение выборки.
- •Гистограмма.
- •Эмпирическая функция распределения
- •Лекция №2. Выравнивание статистических рядов. Проверка статистических гипотез.
- •Лекция №3. Оценка параметров случайных величин.
На рис.6.2 показана мода непрерывной унимодальной (с одной модой) случайной величины, заданной плотностью распределения.
Кроме унимодальных распределений случайных величин, различают полимодальные (рис.6.3,а), антимодальные (рис.6.3,б) и безмодальные (рис.6.3,в).
1. 3. Медиана
Определение 6.3.
Медианой называют такое значение Ме случайной величины, для которого справедливо равенство .
Перпендикуляр к числовой оси, проходящий через медиану, делит площадь, ограниченную графиком плотности распределения f(x) и числовой осью x, на две равные части (рис.6.4).
Для симметричного унимодального закона распределения случайной величины значения математического ожидания, моды и медианы совпадают.
2. Моменты случайных величин. Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
Определение 6.4.
Начальным моментом k-го порядка называют математическое ожидание k–ой степени случайной величины . (6.3)
(6.4)
Определение 6.5.
Отклонение случайной величины от математического ожидания называют центрированной случайной величиной . (6.5)
Определение 6.6.
Центральным моментом s-го порядка называют математическое ожидание s – ой степени центрированной случайной величины . (6.6)
(6.7)
3. Свойства моментов случайных величин. Особого внимания заслуживают свойства начальных и центральных моментов первого и второго порядков.
Свойство 1
Первый начальный момент (начальный момент 1-го порядка) α1 представляет собой математическое ожидание случайной величины:
α1 = М[X1] = mx . (6.8)
Свойство 2
Первый центральный момент μ1 любой случайной величины равен нулю.
.
Первый центральный момент на практике не используется, поскольку ничего характеризовать не может.
Свойство 3
Второй начальный момент α2 характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, а также смещение случайной величины на числовой оси относительно начала координат.
. (6.9)
В силу того, что второй начальный момент характеризует сразу два свойства случайной величины, он как самостоятельная числовая характеристика не используется.
Свойство 4
Второй центральный момент μ2 называется дисперсией D(X) и характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания.
(6.10)
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
На рис.6.5 показаны две непрерывные случайные величины, заданные в виде плотности распределения c одинаковыми математическими ожиданиями (mх2 = mх1) и отличающиеся друг от друга своей дисперсией (Dх2 > Dх1).
Определение дисперсии Dx для непрерывных случайных величин связано с трудоемкими вычислениями определенных интегралов. На практике дисперсию вычисляют с помощью второго начального момента α2 и математического ожидания (первого начального момента) mх.
Таким образом
. (6.11)
(6.12)
Свойство 5
Среднее квадратичное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии
(6.13)
Ошибка измерения представляет собой среднее квадратичное отклонение измеренной величины.
Лекция № 7
Законы распределения случайных величин
1. Законы распределения дискретных случайных величин.
Из всего многообразия дискретных случайных величин выделяют две большие группы: биномиальные величины и пуассоновские. В связи с этим особый интерес представляют собой биномиальный и пуассоновский законы распределения дискретных случайных величин.
1.1. Биномиальный закон распределения
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одинаковой вероятностью р может произойти некоторое событие А. Случайная величина Х – число опытов, в которых произошло событие А – распределена по биномиальному закону распределения
(7.1)
с рядом распределения
xi |
0 |
1 |
. . . |
m |
. . . |
n |
pi |
(1-p)n |
np(1-p)n-1 |
. . . |
Cnm pm(1-p)n-m |
. . . |
pn |
Где = 1.
Для доказательства данного факта следует сумму рассматривать как разложения бинома Ньютона с переменными р и (1-р), т.е.
= [ p + (1 – p) ]n = 1 .
Биномиальный закон распределения имеет два параметра:
р – вероятность появления событие А в одном опыте;
n – общее число опытов (испытаний).
Вероятность попадания дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, в заданный диапазон значений определяется с помощью формулы
(7.2)
Числовые характеристики биномиальной случайной величины