1. Математическое ожидание.

Рассмотрим предварительно случайную величину Х_i – число появлений события А в i-м опыте, .

Ряд распределения рассматриваемой величины имеет вид: .

Математическое ожидание случайной величины Х_i определим по формуле (4.9): m_i = 0_*(1–p) + 1_*p = p .

Биномиальная случайная величина представляет собой сумму величин Х_i. Тогда её математическое ожидание определится следующим преобразованием:

то есть

. (7.3)

2. Дисперсия.

_i = 0²_*(1–p) + 1²_*p = p .

Дисперсия биномиальной случайной величины Х как сумма дисперсий независимых случайных величин Х_i определится с помощью следующего преобразования:

т.е. . (7.4)

3. Среднее квадратичное отклонение.

(7.5)

Задача 7.1.

Определить математическое ожидание m_х, дисперсию D_x и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – числа появлений “орла” при 10 бросаниях монеты.

Решение. Подбрасывание монеты – события независимые. Вероятность появления “орла” при каждом подбрасывании монеты одинакова и равна 0,5. Следовательно, случайная величина Х распределена по биномиальному закону. А это значит, что её математическое ожидание определяется формулой (7.3):

m_x = np = 10_*0,5 = 5 ;

дисперсия формулой (7.4):

D_x = np(1–р) = 10_*0,5_*(1–0,5) = 2,5 ;

среднее квадратичное отклонение формулой (7.5):

1.2. Закон распределения Пуассона Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, составляющими простейший поток событий.

Определение 7.1.

Случайным потоком событий называются события, следующие друг за другом в случайные моменты времени.

Определение 7.2.

Простейшим потоком событий называется поток событий, обладающий следующими тремя свойствами:

1. стационарностью;

2. ординарностью;

3. отсутствием последействия.

Примером простейшего потока событий может служить поток заявок, поступающих по телефону в кассу театра на приобретение билетов.

Определение 7.3.

Случайный поток событий называется стационарным, если вероятность попадания определенного числа событий на заданный временной участок зависит только от длины участка Т и не зависит от того, где на временной оси t расположен этот участок.

Определение 7.4.

Случайный поток событий называется ординарным, если вероятность попадания двух и более событий на бесконечно малый участок Δt несоизмеримо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события на этот участок.

т.е. имеет место предел . (7.6)

Таким образом, два и более событий на одном бесконечно малом участке произойти не могут.

Определение 7.5.

Случайный поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания определенного числа событий на участок длиной Т не зависит от того, сколько событий попало на любой другой участок, не пересекающийся с ним.

Данное свойство потока говорит о том, что все последующие события в потоке не зависят от предыдущих.

Для простейшего потока событий случайная величина Х – количество событий попавших на интервал Т – распределена по закону Пуассона

(7.7)

где а = λТ – среднее число событий, попадающих на интервал Т (единственный параметр закона распределения);

λ – интенсивность наступления событий (количество событий в единицу времени);

Т – некоторый период времени.

Ряд распределения пуассоновской случайной величины имеет вид

xi	0	1	. . .	m	. . .
pi	е–а	а е–а	. . .	(а е–а)/m!	. . .

Доказательство формулы Пуассона (7.7).

Введем обозначения:

λ – интенсивность событий;

Т – заданный участок временной оси.

Разобьем участок длины Т на участки Δt в количестве n.

Причем .

В силу стационарности и ординарности потока вероятность того, что на участке Δt произойдет одно событие, определится следующим образом:

а вероятность того, что на участке Δt не произойдет ни одного события:

При условии вероятность Вероятность того, что за период времени Т произойдет ровно m событий можно рассматривать как вероятность появления m событий в n независимых испытаниях при , т.е. вычислять ее по формуле Бернулли:

Поскольку = е^–а как замечательный предел, то

что и требовалось доказать.

Убедимся, что сумма вероятностей во второй строке ряда распределения равна единице, т.е. .

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть:

Здесь сумма представляет собой функциональный бесконечный ряд, сходящийся к функции е^а .

Преобразуем исходную сумму:

Таким образом, равенство доказано.

Числовые характеристики пуассоновской случайной величины