2.1. Ряд распределения.

Наиболее простой и понятной формой задания закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения.

Ряд распределения представляет собой таблицу, состоящую из двух строк. В первой строке располагаются в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины. Во второй – соответствующие им вероятности p₁, p₂, ..., p_n , где p_i = Р{Х = x_i }.

В результате опыта дискретная случайная величина должна принять одно из возможных значений. Поскольку события {Х = x₁}, {Х = x₂}, ... несовместны и образуют полную группу, то сумма соответствующих вероятностей должна быть равна единице (условие нормировки)

. (5.1)

2.2. Многоугольник распределения.

Многоугольник распределения – это диаграмма зависимости вероятностей p_i возможных значений случайной величины от самих этих значений x_i .

P

P_i

P₂

P₁

P₃

x₁

x₂

x₃

x_n

x

x_i

2.3. Интегральная функция распределения.

Определение 5.4.

Интегральная функция распределения случайной величины X – это функция F(x), которая при каждом значении своего аргумента x численно равна вероятности того, что случайная величина X окажется меньше, чем значение аргумента x, т.е.

F(x) = P { X < x } . (5.2)

Интегральная функция обладает тремя свойствами:

1. F(– ) = P { X < – }= 0 .

2. F(+ ) = P { X < + }= 1 .

3. если х₂ > х₁, то F(х₂) F(х₁) , т.е. интегральная функция – неубывающая функция:

.

Задача 1.

Построить закон распределения случайной величины Х – количества домов, сданных в эксплуатацию в срок, из 3 строящихся. Вероятность сдачи в эксплуатацию в срок для каждого дома одинакова и равна 0,9 .

Решение.

Случайная величина Х – количество домов, сданных в эксплуатацию в срок.

С.в. Х может принимать значения 0, 1, 2 или 3.

Общее число строящихся домов (число опытов) n = 3,

вероятность построить каждый дом в срок (наступления события А в одном опыте) р = 0,9 .

Тогда вероятности р_i (i = 0,1,2,3) – вероятности того, что из 3 строящихся домов в срок будут сдано ровно 0, 1, 2 или 3 дома определяются с помощью формулы Бернулли :

;

;

;

.

1. Ряд распределения случайной величины Х имеет следующий вид

xi	0	1	2	3
pi	0,001	0,027	0,243	0,729

Условие нормировки .

2. Многоугольник распределения

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0,001

1

2

3

4

x

0

3. Интегральная функция распределения

Аналитическую запись интегральной функции F(x) =P{X < x} представим в виде таблицы.

Индекс диапазона i	Диапазон х	Значения интегральной функции F(x)
0	х  0	F(x(0)) = P{X<0}= 0
1	0 < х  1	F(x(1)) = P{X<1}= P(X=0) = 0,001
2	1 < х  2	F(x(2)) = P{X<2}= P(X=0) + P(X=1) = = 0,001 + 0,027 = 0,028
3	2 < х  3	F(x(3)) = P{X<3}= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = = 0,001 + 0,027 + 0,243 = 0,271
4	х > 3	F(x(4)) = P{X<4} = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = = 0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1