3. Завдання 1.

1. Розрахунок найкоротшого шляху графу (за алгоритмом Дейкстри).

Р озглянемо алгоритм Дейкстри для визначення найкоротшого шляху з джерела мережі (початкова вершина) в стік (кінцева вершина).

3.1. Рис.1. «Мережевий граф»

1. Виділимо вершину 1.

Позначимо d(1)=0;

d (2)=d(3)=d(4)=d(5)=d(6)=d(7)=d(8)=d(9)=∞;

1

3.1.Рис. 2.

2. Поточна змінна у=1;

d(2)=min{d(2), d(2)+d(1,2)}=min{∞;4}=4;

d(3)=min{d(3), d(1)+d(1,3)}=min{∞;1}=1;

d(4)=min{d(4), d(1)+d(1,4)}=min{∞;1}=1;

d(5)=min{d(5)}=min{∞}=∞;

d(6)=min{d(6)}=min{∞}=∞;

d(7)=min{d(7)}=min{∞}=∞;

d(8)=min{d(8)}=min{∞}=∞;

d(9)=min{d(9)}=min{∞}=∞;

min{2,3,4,5,6,7,8,9}=min{4,1,1,∞, ∞,∞,∞,∞,∞}=1;

М інімум у вершинах 3,4.

1

3

3.1. Рис.3.

3. Поточні змінні у=3;

d(2)=min{d(2), d(1)+d(1,2)}=min{∞;0;4}=4;

d(4)=min{d(4), d(3)+d(3,4), d(1)+d(1,4)}=min{1,5,1}=1;

d(5)=min{d(5)}=min{∞}=∞;

d(6)=min{d(6), d(3)+d(3,6)}=min{∞;1+5}=6;

d(7)=min{d(7), d(4)+d(4,7)}=min{∞;1+2}=3;

d(8)=min{d(8)}=min{∞}=∞;

d(9)=min{d(9)}=min{∞}=∞;

min{2,5,6,7,8,9}=min{1,4,6,3, ∞,∞,∞,∞}=1;

М інімум у вершині 4.

1

3

4

3.1.Рис.4.

4. Поточна змінна у=4;

d(2)=min{d(2), d(1)+d(1,2)}=min{∞;0;4}=4;

d(5)=min{d(5)}=min{∞}=∞;

d(6)=min{d(6), d(3)+d(3,6)}=min{∞;1+5}=6;

d(7)=min{d(7), d(4)+d(4,7)}=min{∞;1+2}=3;

d(8)=min{d(8)}=min{∞}=∞;

d(9)=min{d(9)}=min{∞}=∞;

min{2,5,6,7,8,9}=min{4,6,3, ∞,∞,∞}=3;

Мінімум у вершині 7;

1

3

4

7

3.1. Рис.5.

5. Поточна змінна у=7;

d(2)=min{d(2), d(1)+d(1,2)}=min{∞;0;4}=4;

d(5)=min{d(5)}=min{∞}=∞;

d(6)=min{d(6), d(3)+d(3,6)}=min{∞;1+5}=6;

d(8)=min{d(8)}=min{∞}=∞;

d(9)=min{d(9), d(7)+d(7,9)}=min{3+2, ∞}=5;

min{2,5,6,8,9}=min{4,5,6, ∞,∞}=4;

М інімум у вершині 2.

2

1

3

4

7

3.1.Рис.6.

6. Поточна змінна у=2;

d(5)=min{d(5)}=min{∞}=∞;

d(6)=min{d(6), d(3)+d(3,6)}=min{∞;1+5}=6;

d(8)=min{d(8)}=min{∞}=∞;

d(9)=min{d(9), d(7)+d(7,9)}=min{3+2, ∞}=5;

min{5,6,8,9}=min{4,6, ∞,∞}=5;

М інімум у вершині 9.

2

1

3

9

4

7

3.1.Рис.7.

Найкоротші відстані до кожної вершини:

d(1)=0;

d(2)=4;

d(3)=1;

d(4)=1;

d(7)=3;

d(9)=5;

Найкоротша відстань із джерела до стоку дорівнює 5 одиницям, найкоротший шлях проходить через вершини 1-3-4-7-9.

2. Р озрахунок максимального потоку в мережі (за алгоритмом Форда-Фалкерсона).

А Б

Рис.8. (А – перетин джерела; Б – Перетин стоку)

Розрахуємо максимальний потік джерела та стоку:

R_А=R_дж=∑1_(і)А=4+1+1=6;

R_Б=R_стоку=∑1_(і)Б=5+3+2=10;

Введемо позначення R – використані ресурси.

1. Вибираємо один з довільних потоків.

М аршрут (1,2)→(2,5) →(5,8) →(8,9) →2

Рис.9.

2. М аршрут (1,2) →(2,3) →(3,6) →(6,8) →(8,9) →1

Рис.10.

3. М аршрут (1,2) →(2,3) →(3,6) →(6,9) →1

Рис.11.

4. М аршрут (1,3) →(3,6) →(6,9) →1

Рис.11.

5. М аршрут (1,4) →(4,7) →(7,9) →1

Рис.12.

Максимальний потік R:

R=∑_ir_i=2+1+1+1+1=6;

R=R_дж;

R<=R_витоку;