- •1) Множества, операции над множествами.
- •Основные числовые множества
- •Операции над множествами
- •Предельные, граничные точки.
- •Открытые и замкнутые множества
- •3) Понятие функции, график функции, способы задания, классификация.
- •Доказательство.
- •5) Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •6) Теорема о пределах числовых последовательностей(предел суммы, произведения, отношения сходящихся последовательностей)
- •8) Теоремы о пределах функций( предел суммы, произведения, отношения, переход и
- •Предел отношения двух функций, имеющих предел в данной точке, равен отношению пределов этих функций в той же точке, если предел знаменателя отличен от нуля:
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
Пусть f1 (x) и f 2 (x) бесконечно малые величины при , т.е. и .
1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:
. (4.17)
2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:
. (4.18)
3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая:
. (4.19)
Пусть и бесконечно большие величины при , т.е. и .
1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:
. (4.20)
2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:
. (4.21)
3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:
(4.22)
Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.
Пусть и , тогда и .
Символически можно записать:
и
Примеры:
1) ;
2) ;
3) .
П р и м е ч а н и е. При вычислении пределов возможны следующие комбинации бесконечно малых и бесконечно больших величин, которые называются неопределенностями:
.
11) Непрерывность функций y=f(x). Свойства функций, непрерывных в точке.
12) Непрерывность функций на замкнутом множестве, их свойства
Пусть есть пока произвольное множество пространства , и пусть на определена функция . Может случиться, что функция определена не на всей окрестности точки ( - замыкание ), а только на некоторой ее части. В этом случае возникает понятие предела функции в точке по множеству .
Число называется пределом функции в точке по множеству , если
,
какова бы ни была последовательность точек , сходящаяся к .
По определению, функция непрерывна в точке по множеству , если имеет место равенство
, (1)
какова бы ни была последовательность точек , сходящаяся к .
Приведенное определение непрерывности можно сформулировать и на языке : функция непрерывна в точке , если для любого найдется такое, что
.
Теперь мы будем предполагать, что есть ограниченное замкнутое множество пространства и заданная на функция непрерывна на этом множестве. В этих предположениях можно доказать следующие замечательные свойства:
1) Функция ограничена на множестве .
2) Функция достигает на множестве максимума и минимума, т. е. существуют в точки и такие, что
.
3) Функция равномерно непрерывна на множестве , т. е. для всякого найдется такое , что
для любых , удовлетворяющих неравенствам .
Как мы видим, свойства обобщают известные уже нам свойства непрерывной функции от одной переменной , заданной на отрезке . Подчеркнем, что отрезок есть ограниченное замкнутое одномерное множество. Ведь если какая-либо последовательность точек (чисел) , принадлежащих к отрезку , сходится к некоторой точке (числу) , то эта точка принадлежит к .
Доказательство свойств совершенно аналогично доказательству их для отрезка , приведенному в §§ 3.5 и 3.7. Оно всецело базируется на следующей лемме, обобщающей соответствующую теорему Больцано–Вейерштрасса из § 2.9.
Л е м м а. Из всякой ограниченной последовательности точек можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке :
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность ограничена, то существует число такое, что
.
Это показывает, что координаты точек также ограничены. Первая координата образует ограниченную последовательность , и на основании одномерной теоремы Больцано–Вейерштрасса найдется подпоследовательность натуральных чисел и некоторое число такие, что . Вторую координату рассмотрим только для найденных натуральных . Подпоследовательность ограничена, поэтому из нее также можно выбрать подпоследовательность и число такие, что . Так как есть подпоследовательность , то имеет место одновременно . Продолжая этот процесс, на -м его этапе получим подпоследовательность натуральных чисел и систему чисел такие, что одновременно
.
Полагая , получим утверждение леммы.
Д о к а з а т е л ь с т в о свойства . Допустим, что неограничена на замкнутом ограниченном множестве . Тогда для каждого натурального числа существует точка такая, что
. (2)
Так как множество ограничено, то последовательность точек также ограничена и, в силу леммы, из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . По условию множество замкнуто, поэтому точка . Но в точке функция непрерывна и потому
. (3)
Свойство (3) противоречит свойству (2). Поэтому может быть только ограниченной на замкнутом ограниченном множестве .
Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а . По свойству непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом :
.
Но тогда существует точная верхняя грань на :
. (4)
Число обладает следующим свойством: Для любого натурального найдется в множестве точка такая, что
.
Подпоследовательность , как принадлежащая к ограниченному замкнутому множеству , ограничена:
,
и потому из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Последнее заключение вытекает из замкнутости множества .
Но функция непрерывна на множестве , следовательно, она непрерывна в точке , поэтому
.
С другой стороны,
.
Переходя к пределу в этом неравенстве при , получаем
,
т. е.
.
Таким образом, верхняя грань (4) достигается в точке , т. е. функция достигает в точке максимума на множестве .
Итак, мы доказали, что существует точка , для которой
.
Другая часть свойства о минимуме доказывается аналогично.
Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а . Допустим, что свойство неверно. Тогда существует такое , что для любого найдется пара точек , , удовлетворяющих неравенству
,
для которых
.
Зададим теперь последовательность положительных чисел при . Для каждого , найдутся точки такие, что
. (6)
Так как точки последовательности принадлежат к ограниченному множеству , то эта последовательность ограничена, и из нее, по лемме, можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке (в силу замкнутости множества ).
Так как при , то подпоследовательность также сходится к точке , потому что
.
По условию функция непрерывна на и, следовательно, непрерывна в точке .
Поэтому
.
Теперь, переходя к пределу в (5) при , получаем
и мы пришли к противоречию: .
13) Точки разрыва функций y=f(x), их классификация.