6) Теорема о пределах числовых последовательностей(предел суммы, произведения, отношения сходящихся последовательностей)
Теорема Штольца
Формулировка
Пусть an и bn — две последовательности вещественных чисел, причём bn положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел
,
то существует и предел
,
причём эти пределы равны.
Доказательство
Допустим
сначала, что предел равен конечному
числу L,
тогда для любого заданного
существует
такой номер N
> 0, что при n
> N
будет иметь место
Значит для любого n > N все дроби
лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности bn), то между теми же границами содержится и дробь
,
числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумме всех знаменателей. Итак, при n > N
.
Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):
,
откуда имеем
.
Второе
слагаемое при n
> N
становится меньше
,
первое слагаемое также станет меньше
,
при n
> M,
где M —
некоторый достаточно большой номер, в
силу того, что
.
Если взять M
> N,
то при n
> M
будем иметь
,
что и доказывает наше утверждение.
Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости
,
из этого следует, что при достаточно больших n
an − an − 1 > bn − bn − 1
и
,
причём
последовательность an
строго возрастает (начиная с определённого
номера). В этом случае, доказанную часть
теоремы можно применить к обратному
отношению
:
,
откуда и следует, что
.
Случай
предел равен
,
то нужно рассмотреть последовательность
{ − an}.
Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей
Если две последовательности {xn} и {yn} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:
а)
Последовательность {xn
yn}
имеет предел равный a
b,
т. е.
Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.
б)
Последовательность {xn
yn}
имеет предел равный ab, т. е.
Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.
Постоянный
множитель можно выносить за знак предела
при
любом постоянном k.
с)
Последовательность
имеет
предел равный
,
т. е.
7) Предел функции y=f(x),где х- принадлежит R. Определение по Коши и по
Гейне
Предел функции
Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение
предела по Гейне.
Число A называется пределом функции f (x)
в точке a, если эта функция определена
в некоторой окрестности точки a за
исключением, быть может, самой точки a,
и для любой последовательности
такой,
что
сходящейся
к числу a, соответствующая последовательность
значений функции
сходится
к числу A.
|
|
График 1.3.6.1. Предел функции y = x2 при x → 2. |
|
|
|
График 1.3.6.2. Предел
функции
|
при
x → 0.Если A – предел функции в точке a, то пишут, что
|
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
|
|
График 1.3.6.3. Предел функции y = {x (x ≠ 0); 1 (x = 0)} при x → 0 равен 0. |
Предел
функции
в
точке a = 0 равен 0:
Предел
функции
в
точке a = 0 также равен 0, хотя эта
функция не существует в этой точке (ее
знаменатель обращается в нуль). Предел
функции
в
точке a = 0 равен 0, хотя значение
функции в этой точке f (0) = 1.
Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.
Число
A1
называется пределом функции f (x) слева
в точке a, если для каждого ε > 0
существует δ > 0 такое, что для
всех
выполняется
неравенство
Число
A2
называется пределом функции f (x)
справа в точке a, если для каждого ε > 0
существует δ > 0 такое, что для
всех
выполняется
неравенство
Предел
слева обозначается
предел
справа –
Эти
пределы характеризуют поведение функции
слева и справа от точки a. Их часто
называют односторонними
пределами.
В обозначении односторонних пределов
при x → 0 обычно опускают первый
нуль:
и
.
Так, для функции
Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:
|
Так,
функция
имеет
в точке x = 0 бесконечный предел
Часто
различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,
Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
|
Аналогично
формулируется определение предела при
x, стремящемся к минус бесконечности:
В
качестве примера приведем функцию
которая
стремится на бесконечности к нулю:
Наконец,
запись
означает,
что для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любого x > δ
выполняется неравенство f (x) > ε.
Запись
означает,
что для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любого x > δ
выполняется неравенство f (x) < –ε.
Запись
означает,
что для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любого x < –δ
выполняется неравенство f (x) < –ε.
Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.
Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства
g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), |
и если
|
,
то
существует
Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство
f (x) < g (x), |
и
если
то A ≤ B.
Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем то
,
если
B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в
δ-окрестности точки a.
Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.
Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы:
|
