5. Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная — это средняя из вариантов, которые повторяются разное число раз или имеют различный вес. Она может быть рассчитана по формуле:

Основные свойства средней арифметической

1. Если индивидуальные значения признака (варианты), уменьшить (увеличить) в n раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится во столько же.

2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на число А, то средняя арифметическая соответственно изменится на это же число.

3. Если вес всех осредняемых вариантов уменьшить (увеличить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю.

Часто приходится вычислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности. Например, средняя рождаемость в стране представляет собой среднее из средних рождаемости по отдельным регионам страны. Средние из средних определяются так же, как и средние из первоначальных значений признака.

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

 — значение моды

 — нижняя граница модального интервала

 — величина интервала

 — частота модального интервала

 — частота интервала, предшествующего модальному

 — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот   , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

 — искомая медиана

 — нижняя граница интервала, который содержит медиану

 — величина интервала

 — сумма частот или число членов ряда

 - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

 — частота медианного интервала

6. Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. От лат. различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают   . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости (  ) — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Ряды распределения изображаются в виде:

Полигона При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.

Гистограммы Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

Кумуляты Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости

Огивы - строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.

7. Смотри 5 вопрос

8. Смотри 5 вопрос

9. Показатели вариации, их свойства и методы расчета.

   1. Размах (амплитуда) колебаний (размах вариации) – это разность между наименьшей и наибольшей вариантой. R=Xmax-Xmin

   2. Квартильное отклонение применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений. Q3 Q1 3-я и 1-я квартели распределения

   3. Среднее линейное отклонение

Для несгруппированных данных: где

Взвешенное линейное отклонение: где

4. Среднее квадратическое отклонение

где х = (см. выше)

Относительные показатели вариации

5. Коэффициент осцилляции:

%

6. Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации представляет собой отношение сред-

него квадратического отклонения к средней арифметической и

показывает величину отклонения (в процентах) от средней вели-

чины.

Простое и взвешенное квадратическое отклонение

Дисперсия – это средний квадрат отклонения всех значений

признака ряда распределения от средней арифметической

• Общая дисперсия

• Межгрупповая дисперсия

• Средняя внутригрупповая дисперсия

Общая дисперсия характеризует вариацию признака под влия-

нием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц

данной совокупности.

где - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает те различия в величине

изучаемого признака, которые возникают под влиянием факто-

ра, положенного в основу группировки.

где - средняя по отдельной группе;

- число единиц в определенной группе.

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную

вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных

факторов, и не зависит от условия, положенного в основу груп-

пировки.

где

Вариации альтернативного признака

Альтернативный признак – качественный признак, имеющий две взаимо-

исключающие разновидности. Альтернативный признак принимает всего два

значения: 1 – наличие признака; 0 – отсутствие признака.

p + q =1

где p - доли единиц, обладающих признаком; q - доли единиц, не облада-

ющих признаком.

Среднее значение альтернативного признака:

Дисперсия альтернативного признака: D=p*q

10. Выборочное наблюдение относится к разновидности несплошного наблюдения. Оно охватывает отобранную часть единиц генеральной совокупности. Цель выборочного наблюдения - по отобранной части единиц дать характеристику всей совокупности единиц.

Простая случайная выборка (собственно-случайная) есть отбор единиц из генеральной совокупности путем случайного отбора, но при условии вероятности выбора любой единицы из генеральной совокупности. Отбор проводится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Типическая (стратифицированная) выборка предполагает разделение неоднородной генеральной совокупности на типологические или районированные группы по какому-либо существенному признаку, после чего из каждой группы производится случайный отбор единиц.

Для серийной (гнездовой) выборки характерно то, что генеральная совокупность первоначально разбивается на определенные равновеликие или неравновеликие серии (единицы внутри серий связаны по определенному признаку), из которых путем случайного отбора отбираются серии и затем внутри отобранных серий проводится сплошное наблюдение.

Механическая выборка представляет собой отбор единиц через равные промежутки (по алфавиту, через временные промежутки, по пространственному способу и т.д.). При проведении механического отбора генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице.

Комбинированная выборка основана на сочетании нескольких способов выборки.

Многоступенчатая выборка есть образование внутри генеральной совокупности вначале крупных групп единиц, из которых образуются группы, меньшие по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы или отдельные единицы, которые необходимо исследовать.

Выборочный отбор может быть повторным и бесповторным. При повторном отборе вероятность выбора любой единицы не ограничена. При бесповторном отборе выбранная единица в исходную совокупность не возвращается.