Асимптоты функции. Порядок исследования графика функции.

Определение 1. Говорят,что прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x),если хотя бы одно из предельных значений или равно +∞ или -∞. Определение 2. Говорят,что прямая Y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→+∞,если функция f(x) представима в виде f(x)=kx+b+α(x),где =0. Теорема. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при x→+∞ наклонную асимптоту,необходимо и достаточно,чтобы существовали два предельных значений .

1.найти D(y) и классифицировать точки разрыва. 2. найти параметры асимптот (если они есть). 3. найти f'(x), при помощи анализа знаков установить интегралы наклонности функции. найти экстремумы функции. 4.при помощи анализа знаков f''(x) найти интервалы сохранения направления выпуклости и вогнутости графика функции. установить точки перегиба. 5.найти точки пересечения графика с осями OX и OY. 6.построить эскиз графика функции.

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица элементарных интегралов. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции f(x) на интервале (a,b),если в любой точке x интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x), равную f(x). Теорема. Если F1(x) и F2(x) – любые первообразные для функции f(x) на интервале (a,b),то всюду на этом интервале F1(x)-F2(x)=C,где С-некоторая постоянная. Следствие. Если F(x)-одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a,b),то любая первообразная Ф(x) для функции f(x) на интервале (a,b) имеет вид Ф(x)=F(x)+C, где С-некоторая постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается символом . Если первообразная для функции f(x) на интервале (a,b) существует, то подынтегральное выражение в формуле представляет собой дифференциал любой из этих первообразных.

Таблица. 1. . 2. dx= (n≠-1). 3. . 4. . 5. 6. 7. =tgx+C (x≠ . 8. . 9. (-1<x<1). 10. . 11. . 12. = ln (|x|≠1).

Свойства неопределённого интеграла. 1.d (знаки d и ∫ взаимно сокращаются в случае,если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла. 2. (знаки ∫ и d взаимно сокращаются в том случае,если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала. 3. . 4. (A=const).

Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям. Возвратные интегралы.

Интегрирование заменой переменной(подстановкой). Этот приём базируется на следующем элементарном утверждении. Пусть функция t=φ(x) определена и дифференцируема на некотором множестве {x},и пусть {t} – множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции g(t) существует на множестве {t} первообразная функция G(t), т.е. . Тогда всюду на множестве {x} для функции g[φ(x)]φ’(x) существует первообразная функция, равная G[φ(x)],т.е. .

Интегрирование по частям. Пусть каждая из функций u(x) и υ(x) дифференцируема на множестве {x} и,кроме того,на этом множестве существует первообразная для функции υ(x)u’(x). Тогда на множестве {x} существует первообразная и для функции u(x)υ’(x),причём справедлива формула Замечание. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать эту формулу в виде .

Возвратные интегралы. Если при применении интегрирования по частям преобразования приводят опять к первоначальному интегралу, то полученное в результате преобразования выражение следует рассматривать как уравнение относительно первоначального интеграла.

Определенный интеграл и его геометрический смысл. Классы интегрируемых функций.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Геометрический смысл - определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

1.свойство равномерной непрерывности функции. Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве ,если для любого положительного числа δ,зависящее только от ε,что для любых двух точек x’ и x” множества , удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство . Замечание. Главное в этом определении то,что для любого ε>0 найдётся δ>0,гарантирующее выполнение неравенства сразу для всех x’ и x’’ из множества {x} при единственном условии .

2.Теорема о равномерной непрерывности. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте. Следствие. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Тогда для любого положительного числа ε можно указать такое δ>0,что на каждом принадлежащем сегменту [a,b] частичном сегменте [c,d],длина d – c которого меньше δ,колебание функции f(x) меньше ε.

3.интегрируемость непрерывных функций. Теорема. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

4.интегрируемость некоторых разрывных функция. Теорема. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b] и если для любого положительного числа ε можно указать конечное число интервалов,покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε,то f(x) интегрируема на сегменте [a,b]. Следствие. Ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x),имеющая лишь конечное число точек разрыва,интегрируема на этом сегменте.В частности,кусочно непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

5.интегрируемость монотонных ограниченных функций. Теорема. Монотонная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле.

1.будем считать,что . Её нужно рассматривать как естественное распространение понятия определённого интеграла на сегмент нулевой длины.

2.будем считать,что при a<b . Она представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай,когда сегмент [a,b] при a<b пробегается в направлении от b к a.

3.пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b]. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)-g(x) и f(x)g(x) также интегрируемы на этом сегменте,причём . Докажем сначала интегрируемость функции f(x)±g(x) и справедливость этой большой формулы. При любом разбиении сегмента [a,b] и любом выборе точек для интегральных сумм справедливо соотношение , а поэтому из существования предела правой части следует существование предела левой части. Следовательно,функция f(x)±g(x) интегрируема и имеет место первая большая формула.

4.если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b],то функция cf(x) (c=const) интегрируема на этом сегменте, причём . Действительно, интегральные суммы функций f(x) и cf(x) отличаются постоянным множителем c. Поэтому функция cf(x) интегрируема и справедлива большая формула здесь.

5.пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b]. Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте [c,d], содержашемся в сегменте [a,b].

6.пусть функция f(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b]. Тогда эта функция интегрируема на сегменте [a,b], причём .

Если f непрерывна на отрезке [a,b] и Ф — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство - формула Ньютона-Лейбница.

Формула интегрирования по частям. Пусть функции u(x) и υ(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определённых интегралов: . Так как υ’(x)dx=dυ и u’(x)dx=du, то эту формулу записывают ещё следующим образом: .

Замена переменной в определённом интеграле. Пусть выполнены следующие условия: 1.функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b]; 2.сегмент [a,b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определённой на сегменте α≤t≤β и имеющей на этом сегменте непрерывную производную; 3.g(α)=a, g(β)=b.

При этих условиях справедлива формула .