Правило Лопиталя.

Раскрытие неопределённости вида 0/0 . Теорема

Пусть две функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки а, за исключением,быть может,самой точки а. Пусть, далее, и производная g’(x) отлична от нуля всюду в указанной выше окрестности точки а. Тогда, если существует (конечное или бесконечное) предельное значение , то существует и предельное значение , причём справедлива формула = .

Раскрытие неопределённости вида . Будем говорить,что отношение двух функций представляет собой при x→a неопределённость вида , если для раскрытия этой неопределённости,т.е. для вычисления предельного значения , справедливо утверждение, совершенно аналогичное Теореме, а именно: если в формулировке Теоремы заменить требование на условие , то Теорема останется справедливой.

Раскрытие неопределённостей других видов. Кроме изученных выше не неопределённостей,часто встречаются неопределённости следующих видов: 0∙∞, ∞-∞, , , . Все эти неопределённости сводятся к изученным выше двум неопределенностям путём алгебраических преобразований. Покажем это, например, по отношению к последним трём из указанных выше неопределённостей. Каждая из этих неопределённостей имеет вид y= , где при x→af(x) стремится соответственно к 1,0 или ∞, ag(x) стремится соответственно к ∞,0 или 0.

Критерий постоянства функции на промежутке. Признак монотонности функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции f’(x) была неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале. (2)Таким образом, изучение вопроса об участках монотонности дифференцируемой функции f(x) сводится к исследованию знака первой производной этой функции.

Локальный экстремум функции. Необходимый признак существования экстремума функции в точке. Первый и второй достаточные признаки.

Определение. Говорят,что функция f(x) имеет в точке с локальный макисмум(минимум),если найдётся такая окрестность точки с,в пределах которой значение f(c) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции. Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то f’(c)=0.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции: если функция f(x) дифференцируема в точке с и имеет в этой точке экстремум,то f’(c)=0.

Первое достаточное условие экстремума.Теорема. Пусть точка с является точкой возможного экстремума функции f(x),и пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с.Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f’(x) положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с,то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум(минимум).Если же производная f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с,то экстремума в точке с нет.

Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Пусть функция f(x) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке с максимум, если (c)<0, и минимум, если (c)>0.

Выпуклость функции на интервале. Признак сохранения функцией направления выпуклости на интервале. Определение. Будем говорить, что график функции y=f(x) имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх),если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже(не выше) любой своей касательной. Замечание. Термин «график лежит не ниже(не выше) своей касательной» имеет смысл,ибо касательная не параллельна оси Oy. Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна(неположительна) всюду на этом интервале, то график функции y=f(x) имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз(вверх). Теорема. Пусть вторая производная функции y=f(x) непрерывна и положительна(отрицательна) в точке с. Тогда существует такая окрестность точки с,в пределах которой график функции y=f(x) имеет выпуклость, направленную вниз(вверх). Таким образом, напраление выпуклости графика функции полностью характеризуется знаком второй производной этой функции.

Точка перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба функции, имеющей конечную вторую производную. Первый и второй достаточные признаки точки перегиба.

Определение. Точка M (c,f(c)) графика функции y=f(x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс,в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от c имеет разные направления выпуклости.

Необходимое условие существования точки перегиба функции, имеющей конечную вторую производную.Теорема. если функция y=f(x) имеет в точке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)), то (c)=0.

Первое достаточное условие перегиба.Теорема. пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и (с)=0.Тогда,если в пределах указанной окрестности вторая производная (x) имеет разные знаки слева и справа от с,то график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)).

Второе достаточное условие перегиба.Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям (c)=0, (c)≠0, то график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)).