Множество, элементы множества, операции на множествах. (1)Понятия мн и эл мн явл первичными и не имеют строгих определений. Согласно г. кантору – мн-во совокупность различных объектов мыслящих как единое целое. (2)Объекты составляющие мн-во – наз эл-тами мн-ва. (3)Операции: обьединение(мн-во состоящие из эл-тов и А и В), пересечение(мн-во состоящее из эл-тов одновременно принадл А и В), взятие дополнения(сост из эл-тов принадл дополнит мн-ву, но не принадл А), разность мн-в(сост из элементов А , но не В)

Числовые множества. Модуль числа. Ограниченные множества. Supremum и Infimum (1)N={1,2,3,…n..}-бесконечное счетное мн-во Z={…-n, -1,0,1,2,…n,..}-бесконечное счетное мн-во. (2)Из двух чисел а и –а только одно положительное, именно его называют модулем числа(абсолютным значением), как числа а и –а. (3)(Х) наз ограниченным сверху(снизу), если существует такое вещественное число М(м), при котором для любого х принадлеж (Х) справедливо х<=M(х>m). (4)Если мн-во (Х) ограничено сверху(снизу) то наименьшей из всех верхних граней(наибольшей из всех нижних) наз точной верхней гранью мн-ва(нижней) supremum(infimum). Если мн-во ограничено сверху и снизу у него сущ точная верхняя и нижняя грань(sup)inf))

Функция и способы ее задания. Элементарные функции. Ограниченность функции. (1)F называют правило(закон), согласно которому каждому эл-ту из мн-ва Х ставят в соответствии единственный эл-т из мн-ва у. В таком случае f наз ф-цией, опред на мн-ве Х и приним знач на мн-ве У, Также ф-цию f наз отображением Х на мн-во У. (2)Способы:1-аналитический(при помощи форумулы), 2-табличный, 3-графический. (3)Ф-ция наз ограниченной сверху(снизу) если сущ такое вещественное число К, что для любого аргумента из ООФ: f(x)<=k (f(x)>=k). Если ф-ция ограничена сверху и снизу она наз ограниченной.

Числовая последовательность и ее предел.

(1)Каждому эл-ту натурального ряда поставим в соответствии некоторое веществ число, тогда говрят что задана числовая последовательность.

Обозн {Xn} пример 1,2,3,4,5….

(2)Число а наз пределом числ последов, если какое малое епсилон мы бы не взяли,все эл-ты поседовательности начиная с некоторой последовательности Nе(эпсилон) попадут в Е окрестность точки а.

Теоремы о сходящихся числовых последовательностей. Теорема о сжатых последовательностях. (или о 2ух милиционерах) (1)Если числовая последовательность имеет конечный предел, то говрят что она сходится, в противном случае – расходится. (1)Предел константы равен ей самой

(1)Сходящаяся последовательность имеет только 1 предел (1)сходящаяся последовательность ограничена (1)необходимым и достаточным условием сходимости монотонной последовательности является её ограниченность (1)пусть послед {Xn} сходится и а – её предел, и пусть начиная с некоторого номера все эл-ты этой послед удовлетв нер-ву Xn>=b, тогда справедливо а>=b.

(2)Пусть {Xn} & {Zn} сходятся и имеют один и тот же придел=2, то для всех членов {Yn} справедливо начиная с N* вып нер-во Xn<=Yn<=Zn, тогда послед сходится и имеет придел=а.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. (1)Последовательность наз бесконеч. Большой если какое сколько угодно большое число мы бы не взяли, найдется такой натуральный номер N, что начиная с этого номера, все эл-ты последовательности будут по абсолютной величине больше E(эпсилон).

(1)Если числовая послед-ность сходится и её предел=0, то её наз бесконечно малой числ послед.

(2)Сумма 2ух бесконечно малых числ последовательностей – б.м.п. Разность 2ух б.м.п. - б.м.п. (3)Б.м.п – ограничена. (4)Произведение 2ух б.м.п. или огрнич послед – б.м.п.

Арифметические операции над числовыми последовательностями. Неопределенности. Число e. (1)Сумма 2ух сходящ последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов послед {Xn} & {Yn} (1)Произведение 2ух сход последовательностей есть сход последовательность, предел которой равен произв {Xn}*{Yn} (1) Пусть {Xn} & {Yn} сходящиеся посл-сти и их предел не равен 0, тогда Xn/Yn – сход послед, и её предел равен отношению пределов Xn /Yn=A/B. (2)если вопр о сходимости не решается 1,2,3 то наз неопределенностями 0/0 беск/беск 0*беск, +беск-беск (3) Рассм числ послед Xn=(1+1/n)stepen’n, lim(1+1/n)stepen’n =e = 2,718 – послед возвр-я ограниченная снизу числом 2.

Предел функции. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

Понятие предел ф-ции имеет след смысл. При приближении значения аргумента к «а», значение ф-ции приближается к числу «А».

(1)Ф-ция f(x) имеет конеч предел «а» (х а), если для сколько угодно малого положит Е найдется положительная «б(дельта)», что как только значение аргумента х попадет в проколотую дельта-окрестность (.) а, так сразу соответств значения ф-ции попадут в Е-окрестность (.)А. (2)Если f(x) & g(x) при

х а, имеют соответств. конечные пределы АиВ, то справедливо: lim#х а#(f(x)+g(x)) = A+B, lim#х а#(f(x)-g(x)) = A-B, lim#х а#(f(x)*g(x)) = A*B, if B/=0 to lim#х а# (f(x)/g(x)) = A/B.