Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Замечательные пределы.

(1) Ф-ция f(x) наз бесконечно большой при

х а (а – конечное, +/-беск, беск) (1) Ф-ция f(x) наз бесконечно малой при х а, если предел ф-ции=0. (1) Ф-ция f(x) наз беск малой более выского порядка чем g(x), если выполняется lim(f(x)/g(x))=0 (1)Произведение 2ух б.м.ф. – б.м.ф более высокого порядка по отношению к каждому из множителей. (2)Замечат. пределы:

1)lim#х 0#(sinx/x)=1. 2)lim#х # (1+1/x)stepen’x=e, e=2,718. (пример с насел-м)

Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. (1)Число а называют пределом ф-ции справа, если какое любое Е>0 мы бы не взяли, существует (Е)>0: (a< x < a+ |f(x)-A| <E(эпсилон)) (1)Число а называют пределом ф-ции слева, если какое любое Е>0 мы бы не взяли, существует (х)>0: (a - < x < a |f(x)-A| <E) (1)Пределы ф-ции справа и слева наз односторонн пределами. (2)f(x) наз ф-цией, непрерывной в точке Хо если предел ф-ции в точке Хо = f(Xо) (2) точки в которых ф-ция не обладает своими непрерывностями наз точками разрыва ф-ции (2) Ф-ция наз непрерывной на мн-ве (интервале)(отрезке) если она непрерывна в каждой точке этого мн-ва (2) Если в-ция f(x) & g(x) непрерывны в (.)а, то также в этой точке непрерывны ф-ции (f(x)+g(x)), (f(x)-g(x)), (f(x)*g(x)), (f(x)/g(x)).

Сложная функция и ее непрерывность. Классификация точек разрыва. (1)Пусть f(x) определена на мн-ве Х и принимает значения на мн-ве У, а на этом У определена ф-ция Z=g(y), тогда говрят что на мн-ве Х задана сложная ф-ция, где z=g(x). (1)Пусть z – сложная ф-ция, заданная на Х, при этом f(x) – непрерывна в (.)а, а g(y) – непрерывно в (.)f(a), тогда сложная ф-ция z=g(f(x)) непрерывна в точке а. (2а) Точка устранимого разрыва. Хо наз тчк устр разр ф-ции, если в этой точке сущ конечные односторонние пределы и они равны между собой, но сама ф-ция либо не определена в этой точке, либо её частное значение не равняется общему значению односторонних пределов. (2б) Тчк разрыва 1 рода. Хо наз точкой разрыва первого рода ф-ции f(x), если односторонние пределы этой ф-ции в точке Хо конечны, но не равны между собой. (2в) Хо наз точкой разрыва 2 рода если хотябы 1 из односторонних пределов не существует или равен беск-ности.

Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.

(1) Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [a;b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри этого отрезка найдется точка с принадлежащая [a;b], такая, что ф-ция в этой точке обращается в 0. (2) Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и принимает на концах этого отрезка разные значения, то для любого числа К, находящегося между а и b , найдется значение аргумента «к», принадлежащего отрезку [а;b] такое, что f(k)=K.

Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.

(1) Ф-ция f(x), непрерывна на отрезке [a;b], является ограниченной на этом отрезке. (2) Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Производная функции в точке и ее геометрический смысл.

(1)Производной f(x) в точке Хо наз предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента в этой точке, при приращении аргумента стремящемся к 0, если этот предел существует. (((приращением «дельта»f(x) в точке Хо, соответствующим приращению аргумента «дельта»f(x) наз след разностью: «дельта»f(x)=f(Xo+«дельта»X)-f(Xo) )))

f’x - Лагранж, Df – Коши – ввели обозначения

Дифференцируемость функции в точке.

(1) f(x) называется дифференцируемой в точке Хо, если в этой точке приращение этой ф-ции, соответственное приращению «дельта»Х , при Х стремящемся к 0, можно представить в виде: «дельта»f=A*«дельта»Х+0(«дельта»Х), где «дельта»f(x)=f(Xo-«дельта»X)-f(Xo). A*«дельта»Х - линейная ф-ция аргумента «дельта»Х, т. е. А - число. 0(«дельта»Х) – бесконечно малая ф-ция, порядок малости которой > «дельта»Х. (2) Для того чтобы ф-ция была дифференцируема в точке Хо необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. (2) Если ф-ция дифференцируема в точке Хо, то она непрерывна в этой точке.

Правила вычисления производных. Таблица производных. (1) Если ф-ции u(x) & v(x) дифференцируемы в точке Х, то в этой точке так же дифференцируемы их сумма, разность, произведение, частное и справедливы след coотношения: (u(x)+v(x))’=u’(x)+v’(x); (u(x)-v(x))’= u’(x)-v’(x); (u(x)*v(x))’= u’(x)*v(x) + u(x)*v’(x); (u(x)/v(x))= (u’(x)*v(x) + u(x)*v’(x))/ vstepen’2(x)

Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование сложной функции. Теорема. Пусть функция x=φ(t) дифференцируема в некоторой точке , а функция y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция f[φ(t)] дифференцируема в указанной точке ,причём для производной этой функции справедлива следующая формула: {f[φ( )]}’=f’( )φ’( ). (2)Т. О. df(x)=f’(x)dx, как в случае х – независимый аргумент, так и в случае, когда х является дифференцируемой ф-цией др независимого аргумента – это св-во наз инвариантность формы первого дифференциала.