Теорема Ферма. Теорема Ролля.

Теорема Ферма. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то f’(c)=0. Док-во. Так как функция f(x) имеет локальный экстремум в точке с,то f(x) не может в этой точке ни возрастать,ни убывать. Стало быть,в силу теоремы о том,что если функция f(x) дифференцируема в точке с и f’(c)>0 (f’(c)<0), то эта функция возрастает (убывает) в точке с, производная f’(c) не может быть ни положительна,ни отрицательна, т.е. f’(c)=0. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть,кроме того,f(a)=f(b). Тогда внутри сегмента [a,b] найдётся точка ξ такая,что значение производной в этой точке f’(ξ) равно нулю.

Теорема Лагранжа. Теорема Коши.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента,то внутри сегмента [a,b] найдётся точка ξ такая,что справедлива формула f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a).

Теорема Коши. Если каждая из двух функций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если,кроме того, производная g’(x) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a,b], то внутри этого сегмента найдётся точка ξ такая,что справедлива формула .

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Производная f’(x) функции y=f(x), определённой и дифференцируемой на интервале (a,b), представляет собой функцию,также определённую на интервале (a,b). Может случиться,что эта функция f’(x) сама является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют производной второго порядка функции y=f(x) в точке x и обозначают символом (x) или (x). Если предположить,что нами уже введено понятие (n-1)-й производной и что (n-1)-производная дифференцируема, в некоторой точке x интервала (a,b),т.е. имеет в этой точке производную,то указанную производную называют производной n-го порядка функции y=f(x) в точке x и обозначают символом или

Определение. Значение δ(dy) дифференциала от первого дифференциала dy,взятое при δx=dx,называют вторым дифференциалом функции y=f(x) (в точке ) и обозначают символом .

Формула Лейбница. Первая часть формулы Лейбница совпадает с формулой разложения бинома , лишь вместо степеней u и υ стоят производные соответствующих порядков.

Формула Тейлора. Формула Маклорена. Теорема Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки производную порядка n+1 (n-любой фиксированный номер). Пусть,далее,x-любое значение аргумента из указанной окрестности, p-произвольное положительное число.Тогда между точками a и x найдётся точка ξ такая,что справедлива следующая формула: f(x)=f(a)+ , где Формула Маклорена. Принято называть формулой Маклорена формулу Тейлора с центром в точке а=0. Таким образом,формула Маклорена даёт представление функции в окрестности точки x=0. Запишем формулу Маклорена для произвольной функции f(x) с остаточным членом в форме Лангранжа, Коши и Пеано: f(x)=f(0)+ ,где остаточный член имеет вид: 1.в форме Лангранжа (0<θ<1), 2.в форме Коши (0<θ<1), 3.в форме Пеано .