Доказательство:

и

F(z)=

Значит, в силу (1.9):

По теореме из мат. анализа: если все частные производные равны нулю: F(z)=const следует

Следствие(3): При условии теоремы(2.7) любая первообразная F(z) функции f(z) выражается формулой: F(z)= комплексным числам.

Следствие(4): При условии теоремы(2.7) имеет место формула Ньютона-Лейбница: (2.17)

Доказательство:

В (2.16) z= F( ч.т.д.

Следствие(5): Если функции f(z) и g(z)удовлетворяют условию теоремы (2.7), то справедлива формула интеграла по частям: (2.18)

Интеграл от элементарных функций считаем по тем же методам и формулам, что и в случае действительной переменной.

П(2.4)Интегрируемая формула Коши

Из интегр. теоремы Коши вытекает одна из важнейших формул теории функций комплексной переменной интегрируемая формула Коши

Т(2.9) пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области Д и пусть простая замкнутая кривая и ориентирована положительна, тогда в любой точке z лежащей внутри ɣ справедлива формула: (2.19) Эта формула называется интегрирующей формулой Коши.

Замечание 1: Пусть Д ограниченная односвязная область с кусочногладкой границей и пусть функция f(z) дифференцируема в области Д и непрерывна вплоть до её границы, тогда для любой точки z лежащей внутри Д имеет место формула: Эта формула остаётся в силе и в том случае, когда Д – многосвязная область.

Замечание 2: Если в правой части формулы (2.19) z не принадлежит кривой , т.е. z лежит вне замыкания Д, то подынтегральная функция дифференцируется по всюду в Д и по теореме Коши интеграл равен нулю, значит:

Т.(2.10) теорема о среднем

Пусть функция f(z) дифф. в круге К, тогда значение этой функции в центре круга равна среднему арифметическому значений этой функции на окружности (2.21)

Ряды Тейлора и Лорана

Ряд Лорана позволяет раскладывать функцию больше К круга (z-1)

П.3.1 Степенные ряды

Определение: Степенным рядом называется ряд вида: (3.1), где a, заданные комплексные числа, z-комплексная переменная. При а=0, формула имеет вид (3.2)

Свойства ряда (3.2) справедливы и для (3.1)

Определение: Областью сходимости степенного ряда (3.2) называется множество всех точек z, в которых (3.2) сходится. Ряд всегда сходится в точке z=0

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге |z| | |, а в любом меньшем круге : |z| | | этот ряд сходится равномерно.

Следствие(1): Ряд (3.2) сходится в круге k|z|<R, а в любом меньшем круге |z| этот ряд сходится равномерно. Круг к – называется кругом сходимости, а его радиус R – радиусом сходимости(3.2). В точках окружности |z|=R ряд (3.2) может сходиться, а может и расходиться, если ряд сходится только при z=0, тогда R=0. Если на всей плоскости, то R=∞. Радиус сходимости ряда (3.2) определяется по формуле Коши-Адамара: R= , (3.3)

Т(3.2) Пусть радиус сходимости степенного ряда f(z)=R, тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в круге |z|<R любое число раз, получим степенные ряды, которые имеют тот же радиус сходимости, что и ряди(3.2).

Следствие(2): Коэффициент n степенного ряда f(z)= (3.4a)сходится в круге k:|z|<R, (k≠0)определена формула: (3.5) n=1,2,3…

Определение: Степенной ряд Тейлора функции f(z). Всякий степенной ряд(3.4а) в круге сходимости есть ряд Тейлора его сумма f(z).

П(3.2) Свойства регулярных функций.

Понятие регулярной функции является одним из основных понятий ТФКП.

Определение: Пусть функция f(z) определены в окружности точки z=a, a≠∞ и разлагается в ряд: f(z)= сходится в некоторой окрестности точки z=a т.е. в круге|z-a|<ρ, тогда функция f(z) называется регулярной в точке z=a. Функция f(z) называется регулярной в области D, если она регулярна в каждой точке этой области.

Т(3.3) Для того чтобы, функция f(z), регулярна в области D, необходимо о достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой области.

Т(3.4) Если функция, дифференцируема в этой области, то она бесконечно дифференцируема имеет место формула:

Где граница круга |𝜉-z|∊P лежит в области D.

Критерии регулярности функции в области D:

1)Дифференцируемость функции в области D

2)Условия Коши-Римана.

Свойства регулярной функции:

1.f+g, f-g, f*g, регулярные функции, если f и g регулярны.

2.Регулярная функция бесконечно дифференцируема.

3.Для регулярной функции справедлива интегрируема теорема Коши и интегральная Форма Коши.

4.Первообразная регулярной односвязной функции- регулярна.

Всякая функция f(z)регулярна в круге |z-a|<ρ разлаживается в этом круге в степенной ряд: f(z)= где:

Этот степенной ряд называется рядом Тейлора. Вычислив производные получим следующие производные:

Обычно коэффициенты ряда считают, не по (3.8), а используют (3.9-3.12).

Некоторые приёмы разложения:

1)Арифметические операции: пусть f(z)=

g(z)= в круге |z-a|<R;

Aˑf(z)=

2)Метод неопределённых коэффициентов

g(z) , h(z)= f(z)=

f(z)=

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях разности (z-a) в равенстве:

f(z)*h(z)=g(z) получим:

3) Переразложение степенного ряда

Пусть ряд f(z)= сходится в круге k: |z-a|<R (3.18)

z-a=(b-a)+(z-b) (3.19)

Из (3.18) и (3.19) имеем f(z)= (3.20)

где |z-b|< , ρ=R-|b-a|, тогда |z-a|<R, перераскладывая ряд (3.20) имеем:

f(z)= (3.21) сходится в круге |z-b|<

Определение: Точка z=a называется нулем регулярной функции f(z) , если f(a)=0 и если f(z)= (3.22) т.е. , то m называют порядком или кратностью нуля, z=a функции f(z).

Порядок нуля z=a функции f(z) равен наименьшему порядку производной этой функции отличной от нуля при z=a.

Т(3.5) Точка a≠∞ тогда и только тогда является нулём порядка m функции f(z), когда эта функция представлена в виде: где h(z) регулярна в точке a, где h(a)≠0

Определение: Пусть f(z) = регулярна в z=∞. Z=∞

Т(3.6) Пусть функция f(z) регулярна в точке А и f(A)=0, тогда либо f(z)≡0 в некоторой окрестности точки А, либо существует такая окрестность точки А, в которой нет нулей функций f(z), f(z)≠0, zϵ

Это значит, что нули регулярной функции изолированы.

П(3.3) Ряд Лорана

Определение: Ряд вида (3.23) , где a фиксированная точка комплексной плоскости, -заданные комплексные числа называются рядом Лорана. Этот ряд называется сходимым в точке z, если в этой точке сходятся ряды:

(3.24) (3.25)

Из суммы ряда (3.23) равна сумме рядов (3.24) и (3.25). Ряд (3.24) сходится в круге: |z-a|<R, а ряд (3.25) сходится при . Если то ряд сходится в кольце: В каждой точке вне этого кольца ряд расходится в силу расходимости одного из этих рядов (3.24) или (3.25)

Т(3.7)Функция f(z) регулярна в кольце Д: представляется в этом кольце рядом Лорана: , где = (3.26a) n=0,±1,±2…

Т(3.8) Разложение в ряд Лорана функции f(z) регулярна в кольце Д: и единственна. Из этой теоремы следует, что коэффициент не зависит от того, как получено это разложение.

Т(3.9) Пусть функция f(z) регулярна в кольце Д: , тогда коэффициент ряда Лорана f(z)= удовлетворяет неравенство: | n=0,±1,±2… , а M-max |f(z)|; |z-a|=R, zϵ .

Многозначные функции.

П (4.1) Обратные функции

Пусть функция w=f(z) определена на множестве . Е-область значения. Тогда для каждого значения wϵ существует одно или несколько значений z из E таких что: f(z)=w (4.1)

Эти решения определяют функцию: z=h(w) называется обратной функцией к w=f(z)

Т(4.1)(об боратной функции): Пусть функция w=f(z) регулярна в точке и пусть тогда:

1)Существует круг k:|z- |<ρ и круг , таким что, для каждого из уравнения (4.1) имеет единственное решение: z=h(w), zϵk.

2)Функция z=h(w) обратна к функции w=f(z) и регулярна в точке

3)В некоторой окрестности точки :

П(4.2) Функция lnz.

Логарифмическую функцию в комплексной плоскости естественно ввести, как обратную к f(w)= (4.3) z=r , тогда из (4.3) можно найти: u=lnr, v=ϕ+2kπ,(k=0,±1,±2…), значит w=ln|z|+i(argz+2kπ)(4.4) где аргумент z фиксирует значение аргумента числа к, к-целое число. Это значит, что уравнение (4.3) имеет бесконечно много решений(4.4) т.е. задаёт многозначную функцию. Попытаемся выделить в области Dоднозначную непрерывную ветвь ln т.е. неприрывную функцию значение которой в точке из области D совпадает с одним из значений многозначной функции lnz т.е. выделим ветвь. Возьмём в качестве D область –плоскость с разрезом от (0;+∞); В этой области функция ϕ=argz допускаем выделение однозначных ветвей. Пусть argz- однозначная ветвь, при ϕϵ2π: 0<ϕ<2π; w=lnz=ln|z|+iargz(4.4a)

Это уже однозначная и неприрывная функция в области функция w=ln взаимно однозначное отображение области на полосу:0<Im<2π

По теореме (4.1) функция f(z) определяет равенство (4.4) регулярна в . Она называется ветвью в области . Многозначной логарифмической функцией, а её производная вычисляется так: (ln существует бесконечно много однозначных непрерывных ветвей аргумента и все они имеют вид: (arg z рассматриваемая выше ветвь аргумента.

При к=1 получим ветвь: arg и соответствует ветвь ln будет иметь вид: w=|lnz . При к=-1 получим: w=|lnz (4.7)

Для выделения регулярной ветви логарифма достаточно указать соответствующую ветвь аргумента по формулам (4.5) т.е. выбрать число к. Возьмем в качестве D область с разрезом по лучу: (рис см. в тетр.).

Функция lnz распадается на бесконечное число однозначных ветвей. однозначная ветвь аргумента –π<(argz Вместо того чтоб рассматривать бесконечно много функций возьмём бесконечно много листов считать, что область задана регулярная функция f(z). Теперь склеим область поверхность. Пусть и пусть и берега. Если z=x<0, то .

Склеим нижний берег верхним берегом разряда тогда функция ,будет однозначно полученной одномерной поверхности. Простроенная поверхность называется Римановой поверхностью lg.

Теория вычетов и её приложение.

П(5.1) Теорема о вычетах.

Пусть функция регулярна в кольце k: 0<|z-a|< .Точка аϵ С, а≠∞ точка а является либо изомер. Особой точкой однозначного характера либо точкой регулярности f(z) расклад в ряд Лорана

f(z)

Определение: вычетом функции f(z) в точке а называется коэффициент ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки т.е. (5.1)

По теореме (3.7) где окружность : |z-a|> |0< ориентируется положительно: = (5.2) Эта формула часто используется для нахождения интегралов.

Если а-простой полюс, то функцию можно разложить следующим образом (5.3)

Если а-полюс порядка m, для функции f(z), то ряд Лорана имеет вид: (5.5)

Определение: Вычетом функции f(z) в точке f(z)=

где окружность иентированна отрицательно т.е. обходит по часовой стрелке.

Т(5.10) Основная теорема теории вычетов.

Пусть функция f(z)регулярна в односвязной области Dза исключением точек -особая точка, ɣ-простая замкнутая кривая принадлежащая Д и содержащая внутри себя , тогда: (5.8) где ɣ- ориентирована положительно.

Доказательство:

окружность достаточно малого радиуса с центром в точке ориентирована против часовой стрелки. В силу следующей теоремы (2.6): используем (5.2) получаем требуемое.

Следствие: Пусть функция f(z) регулярна во всей расширенной комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек тогда сумма всех вычетов функции f(z) включая точку f=0. (5.9) (k=1,2,3..),az=∞ является либо особой точкой либо точкой регулярности.

Обобщением теоремы (5.1) является следующая теорема:

Т(5.2) Пусть f(z) регулярна в области Д расширенной комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек и непрерывных до границы ɣ этой области.

Пусть ɣ состоит из конечного числа ограниченных кусочно-гладких кривых, тогда:

А)Если область Д не содержит точку z=∞, то (5.10)

Б)Если точка z=∞ϵD, то: то (5.11) Здесь все конечные особые точки функции f(z)лежащей в области Д.

П(5.2) Вычислим определение интервалов с помощью вычетов.

Многие определения интеграла от действительной переменной не получается вычислить обычными методами, но их вычисления можно свести к вычетам комплексной функции.

Интегралы вида: I= (5.12) R-рациональная функция.

Замена: z= ;

Sinϕ= cosϕ= dϕ=

При изменении ϕ до 2ϕ: ϕϵ[0,2π], |z|=1, z-пролегает |z|=1 в положит. Интеграл (5.12) сводится к интегралу:

1)I= ; I=2πi

2)Интегралы от рациональных функций: ; I= .

Т(5.3) Пусть функция f(z) регулярна в области Im z>0 за исключением конечного числа особых точек и неприрывна вплоть до границы это области. Если интеграл: (5.14)

В формуле (5.14) вычеты берутся по всем особым точкам функции f(z) лежат в верхних полюсах.

3) Интеграл вида: Im= R(x)dx (5.15) R(x)-рациональная функция. При вычислении интеграла (5.15) используется следующая лемма:

Лемма (5.4): Шварца:

Пусть α>0 и выполняются следующие условия:

1)Функция g(z) неприрывна в области Im z≥0 при |z|≥

2)M(R)=max(g(z))/→0 при R→∞, где |z|=R, Im z≥0, тогда Интеграл (5.15) сходится в тот и только в том случае, когда на действительной оси нет полюсов функции R(z) и кроме того

Замечание: Если функция R(x)-действительна, xϵR, α>0, то выделим действительную и мнимую часть: (5.16) получим:

Аналитическое продолжение:

П(6.1)Определение и основные свойства:

Определение: Пусть выполняются следующие условия:

1)Функция f(z) определена на множестве E;

2)Функция F(z)- регулярна в области Д содержится множество Е;

3)F(z)=f(z), zϵE, тогда F(z) называется аналитическим продолжением f(z) с множества Е в область Д. Самым важным свойством аналитического продолжения является его единственность.

Т(6.1)Принцип аналитического продолжения.

Пусть множество Е имеет предельную точку а принадлежащую области Д , тогда аналитическое продолжение с множества Е в область Д единственно.

Доказательство:

Допустим, что у функции f(z) определена на Е имеется 2 аналитических продолжения: в области Д т.к. при zϵE, то по теореме единственности: , zϵD.

Т(6.2) Единственности.

Пусть функция f(z)регулярна в области D и f(z)=0 (n=1,2,3,…,n), тогда { послед-ть ; тогда f(z)=0 в области D;

1)Пусть функция f(z)регулярна в области D и f(z)=0 на множестве которое содержится в Е.

2)Пусть f(z) и g(z) регулярна в области Д и совпадает на множестве, которое содержит в области Д и имеет предельную точку тогда f(z) g(z) в области D.

В частности Е кривая в Д или подобласть в Д, то существует не более одного аналитического продолжения в области Д.

П(6.2) Аналитическое продолжение e(экспонента тригонометрическая и гиперболическая).

sin z, cos z,- эти функции аналитически продолжаются функцией , sinz, cosz. Положим, что = Ряд сходится при всех следовательно сумма регулярна при всех . При действительных z=x следует По теореме об аналитических продолжениях она является аналитическим продолжением

Т(6.3) Пусть f(z) и g(z)-целые функций, следовательно, f(z) ± g(z), f(z)·g(z), f( g(z))- целые.

Доказательство следует из свойств регулярных функций. Определённая функция sinz, cosz, sh z, chz, как суммы рядов:

Т.к. эти ряды сходятся при любом z, то sinz, cosz, chz, shz -целые функции. Эти функции аналитические продолжения. Функции tgz, ctgz, cthz,thz, введём: tgz= ctgz= thz= cthz= tgz-регулярна z≠∞, z≠ ctgz-регулярна z≠kπ, thz=регулярна z≠i( ; cthz – регулярна z≠i . Все эти функции выполняются для комплексного z.

Пример (1): Покажем, что (6.1) При – равенство выполняется, фиксируя , Левая и правая часть из они совпадают при ; Значит, по следствию (2) из Т(6.2) они совпадают при всех . Теперь пусть Следует: Левая и правая часть (6.1) – являются целыми от функции и совпадают при следовательно

Конформное отображение