Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
а вот все что нашла.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
367.92 Кб
Скачать

Доказательство

Обобщения теоремы

  • Если p простое число, а m и n — такие положительные целые числа, что  , тогда  . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.

  • Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремКармайкла и Лагранжа.

  • Малая теорема Ферма также имеет изящное обобщение в теории конечных полей.

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

p — простое число тогда и только тогда, когда (p − 1)! + 1 делится на p

Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из-за сложности вычисленияфакториала.

Свойства нок

  • Коммутативность: 

  • Ассоциативность: 

  • Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

  • В частности, если a и b — взаимно-простые числа, то: 

  •  при 

  • Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

  • Асимптотики для   могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так, функция Чебышёва  . А также:

    • . Это следует из определения и свойств функции Ландауg(n).

    • , что следует из закона распределения простых чисел.

Свойства нод

  • Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.

    • Следствие 1: множество общих делителей m, n совпадает с множеством делителей НОД(m, n).

    • Следствие 2: множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных НОК(m, n).

  • Если m делится на n, то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.

  •  — общий множитель можно выносить за знак НОД.

  • Если D = (m,n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть,  . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

  • Мультипликативность: если a1,a2 взаимно просты, то:

  • Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех ихлинейных комбинаций:

и поэтому (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

.

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы  , порождённая набором  , — циклическая и порождается одним элементом: НОД .

Свойства Арифм. прогрессии

  1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:      .

    • Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.

    • Доказательство:

 аналогично

  1. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

  • Доказательство:

    • Через сумму:

    • По индукции:

  1. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

  1. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

  1. Произведение членов арифметической прогрессии выражается через Гамма-функцию.

Свойства геометр. прогрессии

  • Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию

Доказательство[скрыть]

Пусть wn — последовательность : 

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

Доказательство[скрыть]

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

,

Доказательство[скрыть]

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство[скрыть]

  • Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

Доказательство[скрыть]

  • Через сумму:

  • Индукцией по n:

  • Если  , то   при  , и

 при  .

Основные свойства пропорций

  • Обращение пропорции. Если  , то 

  • Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если  , то 

  • Перестановка средних и крайних членов. Если  , то

    (перестановка средних членов пропорции),

    (перестановка крайних членов пропорции).

  • Увеличение и уменьшение пропорции. Если  , то

    (увеличение пропорции),

    (уменьшение пропорции).

  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если  , то

    (составление пропорции сложением),

    (составление пропорции вычитанием).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.