Доказательство

Обобщения теоремы

Если p простое число, а m и n — такие положительные целые числа, что , тогда . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.
Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремКармайкла и Лагранжа.
Малая теорема Ферма также имеет изящное обобщение в теории конечных полей.

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

p — простое число тогда и только тогда, когда (p − 1)! + 1 делится на p

Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из-за сложности вычисленияфакториала.

Свойства нок

Коммутативность:
Ассоциативность:
Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

В частности, если a и b — взаимно-простые числа, то:
при
Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).
Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так, функция Чебышёва . А также:
- . Это следует из определения и свойств функции Ландауg(n).
- , что следует из закона распределения простых чисел.

Свойства нод

Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
- Следствие 1: множество общих делителей m, n совпадает с множеством делителей НОД(m, n).
- Следствие 2: множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных НОК(m, n).
Если m делится на n, то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
— общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если D = (m,n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть, . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если a₁,a₂ взаимно просты, то:

Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех ихлинейных комбинаций:

и поэтому (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД .

Свойства Арифм. прогрессии

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: .
- Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
- Доказательство: