1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (Последовательность a001175 в oeis)

• В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.

• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N² + 4 или 5N² − 4 является квадратом.^[4]

• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.^[5]

Последовательность Фарея n-ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n:

Последовательность Фарея порядка n + 1 можно построить из последовательности порядка n по следующему правилу:

1. Копируем все элементы последовательности порядка n.

2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка n дает число не большее, чем n + 1, вставляем между этими дробями их медианту, равную отношению суммы их числителей к сумме знаменателей.

Пример

Последовательности Фарея для n от 1 до 8:

Свойства

Если p1 / q1 < p2 / q2 — две соседние дроби в ряде Фарея, тогда q1p2 − q2p1 = 1.

Доказательство. Заметим, что треугольник на плоскости с вершинами  ,   и   не может содержать целых точек, отличных от вершин. Иначе, если целая точка   содержится в  , то дробь r / s лежит между p₁ / q₁ и p₂ / q₂, а знаменатель s не превосходит  . Значит, по формуле Пика, его площадь равна 1 / 2. С другой стороны, площадь   равна (q₁p₂ − q₂p₁) / 2. Ч. т. д.

Справедливо и обратное утверждение: если дроби p₁ / q₁ < p₂ / q₂ таковы, что q₁p₂ − q₂p₁ = 1, то они представляют собой соседние члены ряда Фарея  .

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или, что b делит a.

При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а число q называется частным от деления aна b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральныхчисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Обозначения

•  означает, что a делится на b

• b | a или b \ a означает, что b делит a, или, что то же самое: b — делитель a.

Свойства

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что   — целые числа.

• Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю :

• Любое целое число делится на единицу:

• На ноль делится только ноль:

,

причём частное в этом случае не определено.

• Единица делится только на единицу:

• Для любого целого числа   найдётся такое целое число   для которого 

• Если   и   то   Отсюда же следует, что если   и   то 

• Для того чтобы   необходимо и достаточно, чтобы 

• Если   то 

• Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:

  • рефлексивно, т.е. любое целое число делится на себя же: 

  • транзитивно, т.е. если   и   то 

  • антисимметрично, т.е. если   и   то либо   либо 

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается   и может быть записано в виде:

Нужно понимать, что численно равные дроби, например,   и  , входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на ихнаибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь gcd(m,n) — наибольший общий делитель чисел m и n.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа   знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).