Билет № 12. Криволинейный интеграл 1-го типа (по длине дуги). Свойства и применение. Примеры.
Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая (длина конечная) L – кривая вдоль которой расположена масса, причём известна их линейная плотность ρ(М) ; m-?
Р
азобьём
L рядом точек, А=А0, А1, А2,
… , Аi, Ai+1, An
= В
Рассмотрим дугу Аi Ai+1
Вычислим плотность ρ(Мi) от этой точки, приближенно считая что такова же плотность во всех точках этой дуги. Получим mi = ρ(Мi)σi (1), где Мi - масса дуги Аi Ai+1, σi – её длина.
Масса всей дуги m ≈ i=0Σ ρ(Мi)σi (2)
Погрешность равенства (2) будет стремится к 0, если max σi→ 0
Для получения частной формулы остается перейти к пределу
m≈max_σi→0limi=0n-1Σρ(Мi)σi
Теперь возьмём произвольную функцию точки f(M)=f(x,y), заданную вдоль непрерывной простой, неспрямляемой кривой L и составим сумму:
i=0n-1Σ f(Мi)σi = i=0n-1Σ f(ξi, ηi)σi (4), где ξi и ηi – координаты точки Мi
Если при max σi→ 0 интегральная сумма (4) имеет определённый конечный предел I не зависящий от ни способа дробления кривой L, ни от выбора точек Мi на участках Аi Ai+1 , то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y), взятым по кривой или по пути L и обозначается символом I = L∫ f(M)ds = L∫ f(x, y)ds (5), где s – есть длина дуги кривой и ds напоминает об элементарных длинах σi .
Таким образом выражение для массы материальной точки может быть записано так m= L∫ f(M)ds (6)
