1.2ДЕЙСТВУЮЩЕЕ И СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКА, ЭДС И НАПРЯЖЕНИЯ

Цепи, в которых значения ЭДС, тока и напряжения изменяются во времени по синусоидальному закону называются цепями синусоидального тока.

Для установления эквивалентности переменного тока в отношении энергии и мощности, общности методов расчета, а также сокращения вычислительной работы изменяющиеся непрерывно во времени токи. ЭДС и напряжения заменяют эквивалентными неизменными во времени величинами. Действующим или эквивалентным значением называется такой неизменный во времени ток, при котором выделяется в резистивном элементе с активным сопротивлением r за период то же количество энергии, что и при действительном изменяющемся синусоидально токе.

Энергия за период, выделяющаяся в резистивном элементе при синусоидальном  токе,

	T		T
w =	∫	i2r dt =	∫	Im2sin2 ωt r dt..
	0		0

При неизменном во времени токе энергия

W = I2rT

Приравняв правые части

	T
I2rT =	∫	Im2sin2 ωt r dt,.
	0

получим действующее значение тока

I =	√	1	T   ∫ Im2sin2 ωt r dt 0	=	Im	= 0,707Im .
		T			√2

Таким образом, действующее значение тока меньше амплитудного в √2 раз.

Аналогично определяют действующие значения ЭДС и напряжения:

Е = Em /√2,    U = Um /√2.

Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на ротор двигателя переменного тока, подвижную часть измерительного прибора и т. д. Когда говорят о значе­ниях напряжения, ЭДС и тока в цепях переменного тока, имеют в виду их действующие значения. Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в действующих значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока

Im = √2I = 1,41 • 10 = 14,1 A,

и мгновенное значение тока

i = Im sin (ωt + ψ) = 14,1 sin (ωt + ψ).

При анализе и расчет выпрямительных устройств пользуются средними значениями тока, ЭДС и напряжения, под которыми понимают среднее арифметическое значение соответствующей величины за полпериода (среднее значение за период, как известно, равно нулю):

	2 T	T2		2Ет Тω			2Ет Тω		2Ет π
Еср =		∫	Ет sin ωt dt =		∫	sin ωt dωt =		|cos ωt|π0 =		= 0,637Ет .
		0			0

Аналогично можно найти средние значения тока и напряжения:

Iср = 2Iт /π;    Uср = 2Uт /π.

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока

Кф =	Е	=	I	=	U	=	π	= 1,11.
	Ес		Iср		Uср		2√2

3 Изображение в виде комлексных числа

Запишем  комплексное число в виде Im = Imеjα = Im cos α + jIm sin α Допустим, что вектор комплексного числа Im вращается с постоянной угловой  частотой  ω  и угол   α = ωt + ψ.  Тогда Im = Imеj(ωt + ψ) = Im cos (ωt + ψ) + jIm sin (ωt + ψ).

Слагаемое Im cos (ωt + ψ) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается

Im cos (ωt + ψ) = ReImеj(ωt + ψ).

Слагаемое Im sin (ωt + ψ) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается Im sin (ωt + ψ) = ImImеj(ωt + ψ).

Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока

i = Im sin (ωt + ψ)

и является проекцией вращающегося  вектора Im на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной  плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда  Im записывается в  виде

Im = Imejψ,

где Im — комплексная амплитуда; Im - ее модуль, а ψ - угол между вектором Im, и действительной осью.

Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0.

Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения

и = Um sin(ωt + ψ1); i = Im sin (ωt + ψ2).

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

Um = Umejψ1; Im = Imejψ2;

где Um и Im — соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ψ1 и ψ2 — начальные фазы Um и Im относительно действительной оси (углы начальных фаз).

Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:

U =	Um	ejψ1 - Uejψ1, I =	Im	ejψ2 = Iejψ2.
	√2		√2

Рис.   2.24.   Изображение   напряжения   и   тока   в   виде   векторов   на комплексной плоскости (а и б) электрических цепей (в и г)

Если ψ1 > ψ2, то векторы напряжения и тока расположены на комплексной плоскости так, как показано на рис. 2.24, а. Напряжение опережает по фазе ток, так как векторы вращаются против часовой стрелки и, следовательно, цепь имеет активно-индуктивный характер (рис. 2.24, в).

При ψ2 > ψ1 (рис. 2.24, б) ток опережает по фазе напряжение и цепь имеет активно-емкостный характер (рис 2.24, г).

4 Синусоидальный ток в цепи с активным сопротивлением.

В теории синусоидального тока сопротивление R называют активным сопротивлением в отличие от цепей постоянного тока, рассмотрим э ц с активным сопротивлением к которому приложено синусоидальное напряжение

u=U_m sin wt

Согласно второму закону Кирхгофа 0=iR-u, откуда i=u/ R=( U_m sin wt)/R=I _m sinwt

Где U_m , I _m амплитудные значения синусоидального тока и напряжения соответственно

Что напряжение и ток в цепях с активным сопротивлением совпадают по фазе, а амплитудные значения тока и напряжения связаны законом Ома. Так как действующие значения тока и напряжения связаны в √2 раза меньше амплитудных, то можно записать U=IR.

Выражения для комплексного значения векторов тока и напряжения э ц с учетом мгновенных значений тока и напряжения (ψ_u =ψ_i=0, φ=0) имеют вид:

I=Ie ^jψi = Ie^j0 = I, U=Ue ^jψu = Ue^j0 = U

комплексное сопротивление э ц с активным сопротивлением равно отношению комплекса входного напряжения цепи к вхожному току: Z=U/I=U/I= R. Мгновение значение мощности электрической цепи с активным сопротивлением: p=iu=I _m sinwt U_msin wt= I _m U_mn * (1-cos2wt)/2=IU(1-cos 2 wt) мгновенная мощность характеризует скорость поступления электрической энергии в цепь(в активное сопротивление ) . Среднее значение мощности за период Т называют активной мощностью P:

I ² U=U²/R активная мощность характеризует работу, совершаемую в э ц за период Т и таким образом определяет электрическую энергию W, необратимо преобразовывающуюся в другие виды энергии: W=P T=UIT=R I ² T

5 Цепь, содержащая индуктивный элемент с индуктивностью l

Обмотки (катушки) электрических машин, трансформаторов, магнитных усилителей, электромагнитов, реле, контакторов, индукторов электрических нагревательных устройств и печей переменного тока обладают значительной индуктивностью. В радиотехнических устройствах индуктивные катушки используются для образования колебательных контуров, электрических фильтров и т. п. Параметрами катушек являются активное сопротивление r и индуктивность L. Изменяющийся во времени ток наводит в этих катушках ЭДС самоиндукции, которая по значению во многих случаях заметно больше, чем падение напряжения на активных сопротивлениях.Рассмотрим вначале катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь.Для выяснения процессов, происходящих в цепи с индуктивностью (рис. 2.7, а), допустим, что ток в индуктивности изменяется синусоидально

(2.5)

i = Im sin ωt.

Рис. 2.7. Электрическая цепь, содержащая индуктивный элемент с индуктивностью L (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значений u, i, p (в)

Ток вызывает в индуктивности ЭДС самоиндукции(2.6) eL = - Ldi/dt.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для данной цепи, имеет вид (2.7) eL = - и.

Выразив eL и i через их значения из (2.5) и (2.6). найдем напряжение на индуктивности:

u = L	dIm sin ωt	.
	dt

Выполнив операцию дифференцирования, получим(2.8)

и = ωLIm cos ωt = ωLIm sin (ωt +	π	) = Um sin (ωt +	π	).
	2		2

Из сравнения выражений (2.5) и (2.8) можно сделать вывод, что ток в цепи с индуктивностью и напряжение на индуктивности изменяются по синусоиде, а напряжение опережает по фазе ток на угол 90°. Векторная диаграмма цепи с индуктивностью изображена на рис. 2.7, б, а графики мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.7, в.Напряжение и ток в цепи с индуктивностью, как следует из выражения (2.8), связаны соотношением Um = ωLIm ,

откуда (2.9) Im = Um /ωL

Разделив левую и правую части (2.9) на √2, получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью.

I =	U	=	U	.
	ωL		xL

где xL = ωL = 2πfL — индуктивное сопротивление, Ом.

Представив в (2.7) ЭДС самоиндукции и напряжение векторами, получим уравнение цепи в векторной форме для действующих значений Ē = - Ū, или после замены напряжения произведением тока и индуктивного сопротивления

Ē = - Īx‾L.

Таким образом, ЭДС самоиндукции может быть выражена через ток и индуктивное сопротивление. Такой способ выражения ЭДС во многих случаях значительно упрощает анализ цепей с индуктивностью. Мгновенная мощность цепи с индуктивностью равна

р = ui = Im sin ωt • Um sin (ωt +	π	) =	UmIm	sin 2ωt = UI sin 2ωt =Pm sin 2ωt.
	2		2

Мгновенное значение мощности (рис. 2.7, в) изменяется синусоидально с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности Pm = UI. Легко показать аналитически и из графика рис. 2.7, в, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю:

	1 T	T
P =		∫	ui dt = 0.
		0

Для пояснения энергетических процессов в цепи с индуктивностью используем график рис. 2.7, в.
В интервале времени от t = 0 (точка 1) до t= T/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до Im, электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, преобразуется и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля.

Наибольшее значение энергии магнитного поля будет в момент времени, соответствующий точке 2, когда ток достигает амплитудного значения.

WL =	I2mL	.
	2

Можно показать, что эта энергия равна заштрихованной площади графика р = f(t) в интервале времени между точками 1 и 2 (отмечена знаком « + ». Действительно,

	T/4		T/4	UmIm sin 2ωt dt = UmIm | -cos2ωt|0T/4 = UmIm = Im2xL = Im2ωL = Im2L . 2 2 • 2ω 2ω 2ω 2ω 2
WL =	∫	ui dt =	∫
	0		0

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую энергию и возвращается в сеть. В момент времени, соответствующий точке 3, ток и энергия магнитного поля равны нулю.

Энергия, отданная в сеть, равна заштрихованной площади графика p = f(t) в интервале времени между точками 2 и 3 (отмечена знаком « - »). Из графиков рис. 2.7, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивности в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяются направления тока и магнитного потока. Происходит процесс, аналогичный процессу в первую четверть периода: энергия из сети поступает в индуктивность и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля. В последнюю четверть периода в интервале времени между точками 4 и 5 энергия магнитного поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью (источником энергии) и индуктивностью