Реляционная алгебра

В ней определяются основные операции над данными реляционного типа. Все операции можно разделить на традиционные над множествами и специализированные, вводимые для удобства поиска в БД.

К операциям 1-й группы относятся: объединения, пересечения, разность, декартово произведение. К операциям 2 -й группы относятся: проекция, ограничение, соединение, деление.

Объединение. В результате применения этой операции получается отношение. объединяющее кортежи, содержащиеся в исходных отношениях. Пусть имеем два исходных отношения R₁ и R₂ . Операция объединения этих отношений обозначается R₁  R₂:

R₁  R₂ = { r / r  R₁ или r  R₂ }.

Объединяемые отношения должны иметь одинаковые атрибуты ( должны быть объединимы ):

Пересечение. В данной операции ( обозначенной  ) получают отношение, включающее кортежи, общие для R₁ и R₂:

R₁  R₂ = { r / r  R₁ и r  R₂ }.

Разность: В результате применения этой операции (R₁ \ R₂ ) получается отношение, содержащее кортежи, являющиеся кортежами отношения R₁ и не являющиеся кортежами отношения R₂:

R₁ \ R₂ = { r / r  R₁ и r  R₂ }.

Декартово ( прямое ) произведение. В этой операции ( R₁ х R₂ ) из m - местного отношения R₁ и n - местного отношения R₂ получают ( m + n ) - местное отношение. Причём первые m элементов представляют кортежи из отношения R₁ , последние n элементов - кортежи из отношения R₂:

R₁ х R₂ = {< r₁, r₂ > / r  R₁ и r  R₂ }.

Проекция: Операция проекции предназначена для изменения числа столбцов в отношении, то есть в том случае, когда из строк - кортежей требуется исключить какие-либо атрибуты. Обозначим через j₁, j₂,..., j_n - номера столбцов n - местного отношения R. Операцию определения проекции отношения R обозначим через  _j1, _j2,..., _jn ( R ), а сама операция заключается в том, что из отношения R выбираются столбцы и компонуются в указанном порядке j₁, j₂,..., j_n.

Ограничение. Ограничением называют такую операцию, в которой отношение исследуют по строкам и выделяют множество строк, удовлетворяющим заданным условиям.

Соединение. Операция соединения обратна операции проекции. Рассмотрим два отношения R₁ (А, В) и R₂ (В, С). Соединением отношений R₁ и R₂ (R₁  R₂ ) называют операцию, при которой соединяют два отношения, используя в качестве признака общий атрибут В:

R₁  R₂ = { <A,B,C> / <A,B>  R₁ и <B,C>  R₂ }.

Отношение R₁  R₂ является отношением с атрибутами <A,B,C>.

Деление. Рассмотрим деление m - местного отношения R₁ на n - местное отношение R₂.

Пусть из общего количества m атрибутов отношения R₁ выделим несколько атрибутов: A,B,...,F и из них составляем список, обозначив его через M. Набор значений атрибутов из М столбцов можно рассмотреть как проекцию отношения R на список атрибутов М, то есть _М (R₁). Тогда через М будут обозначаться атрибуты дополнительные к М, то есть атрибуты отношения R₁, не вошедшие в список М, и соответственно значения атрибутов из списка М определяются _М (R₁).

Операцию деления можно определить так:

R₁ [M N] R₂ = _М (R₁) \ _М ((_М (R₁)  _N (R₂)) \ R₁ },

где _М - это проекция отношения на атрибуты списка М.