Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Закон Био-Савара.

Магнитное поле движущегося заряда B=q/(c'r^3)*[vr], r —радиус-вектор из точки заряда в точку наблюдения. Эл. поле медленно движущегося заряда E = qr/r^3, B = 1/c'*[vE]. [c']=см/с. Движущийся заряд действует на другой заряд с силой F_12 = q1q2/(c^2 r12^3)*[v2 [v1r12]]. Магнитное поля отдельного элемента тока. Принцип суперпозиции: магнитные поля отдельных движущихся зарядов векторно складываются, причем поле одного заряда не зависит от наличия других зарядов. Магнитное поле объемного элемента тока dB = 1/c * [jr]/r^3 dV; для линейного элемента dB = I/c [dl r]/r^3 — закон Био и Савара. Полное поле B = 1/c sum [jr]/r^3 dV, B = sumo I/c [dl r]/r^3. Только для постоянных токов. Опытной проверке доступна только интегральная форма закона.

12.Закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био — Савара — Лапласа

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. C его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Пусть постоянный ток течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме,  — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе СИ)

Направление перпендикулярно и , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

где J — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС): B= rot A

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие: Div A = 0

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС) аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

п олучим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.