Нахождение оптимального плана методом потенциалов.

Найденный в таблице опорный план (методом северо-западного угла) проверяем на оптимальность.

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	6 160	2 130	5	4	5	290
А2	5	4 80	3 90	9	6	170
А3	8	7	6 90	1 140	7 10	240
А4	3 +1	9	4	3	4 230	230
Потребности	160	210	180	140	240	930

В соответствии с выбранным методом решения задачи, находим потенциалы пунктов отправления и назначения b_j,a_i.

Для определения потенциалов записываем систему уравнений вида b_j - a_i=c_ij,где через c_ij обозначены тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы (i=1,…,4,j=1,…,5), то есть

Она содержит восемь уравнений с семью неизвестными. Полагая одно из неизвестных равным произвольному числу, например, a₁=0, находим b₁=6, b₂=2, b₃=1, b₄=-4, b₅=2, а₁=0, a₂=-2, a₃=-5, a₄=-2.

Для каждой свободной клетки вычисляем число a_ij=b_j-a_i-c_ij, где через c_ijобозначены тарифы, стоящие в незаполненных клетках таблицы. Получаем следующие значения a₁₃=-4, a₁₄=-8, a₁₅=-3, a₂₁=-1 a₂₄=-15, a₂₅=-6, a₃₁=-7, a₃₂=-10, a₄₁=1, a₄₂=-9, a₄₃=-5, a₄₄=-9. Так как среди чисел a_ij имеются положительные, то построенный план перевозок не является оптимальным для решения задачи на минимум целевой функции и необходимо перейти к новому опорному плану. Наибольшим среди положительных чисел a_ij является число a₄₁=1, выделенное жирным шрифтом.

Поэтому для данной свободной клетки строим цикл перечета.

После этих преобразований получаем новый опорный план:

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	6 80	2 210	5	4	5 +2	290
А2	5	4	3 170	9	6	170
А3	8	7	6 10	1 140	7 90	240
А4	3 80	9	4	3	4 150	230
Потребности	160	210	180	140	240	930

В соответствии с выбранным методом решения задачи, находим потенциалы пунктов отправления и назначения b_j,a_i.

Для определения потенциалов записываем систему уравнений вида b_j - a_i=c_ij,где через c_ij обозначены тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы (i=1,…,4,j=1,…,5), то есть

Она содержит восемь уравнений с семью неизвестными. Полагая одно из неизвестных равным произвольному числу, например, a₁=0, находим а₁=0, a₂=3, a₃=0, a₄=3, b₁=6, b₂=2, b₃=6, b₄=1, b₅=7.

Для каждой свободной клетки вычисляем число a_ij=b_j-a_i-c_ij, где через c_ijобозначены тарифы, стоящие в незаполненных клетках таблицы. Получаем следующие значения a₁₃=1, a₁₄=-3, a₁₅=2, a₂₁=-2, a₂₂=-5, a₂₄=-11, a₂₅=-2, a₃₁=-2, a₃₂=-5, a₄₂=-10, a₄₃=-1, a₄₄=-5. Так как среди чисел a_ij имеются положительные, то построенный план перевозок не является оптимальным для решения задачи на минимум целевой функции и необходимо перейти к новому опорному плану. Наибольшим среди положительных чисел a_ij является число a₁₅=2, выделенное жирным шрифтом.

Поэтому для данной свободной клетки строим цикл перечета.

После этих преобразований получаем новый опорный план:

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	6	2 210	5	4	5 80	290
А2	5	4	3 170	9	6	170
А3	8	7	6 10	1 140	7 90	240
А4	3 160	9	4	3	4 70	230
Потребности	160	210	180	140	240	930

В результате получаем опорный план .

В результате использования метода минимального элемента удалось снизить общую стоимость перевозок на 10 у. е..

В соответствии с выбранным методом решения задачи, находим потенциалы пунктов отправления и назначения b_j,a_i.

Для определения потенциалов записываем систему уравнений вида b_j - a_i=c_ij,где через c_ij обозначены тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы (i=1,…,4,j=1,…,5), то есть

Она содержит восемь уравнений с семью неизвестными. Полагая одно из неизвестных равным произвольному числу, например, a₃=0, находим а₁=2, а₂=3, а₃=0, а₄=3, b₁=5, b₁=6, b₂=4, b₃=6, b₄=1, b₅=2.

Для каждой свободной клетки вычисляем число a_ij=b_j-a_i-c_ij, где через c_ijобозначены тарифы, стоящие в незаполненных клетках таблицы. Получаем следующие значения a₁₁=-2, a₁₃=-1, a₁₄=-5, a₂₁=-2, a₂₂=-3, a₂₄=-11, a₂₅=-2, a₃₁=-2, a₃₂=-3, a₄₂=-8, a₄₃=-1, a₄₄=-5.

Так как все числа a_ij отрицательные, то построенный план перевозок является оптимальным.