Уравнение регрессии и коэффициент корреляции величин, заданных числовыми массивами.
Часто результаты выборочных наблюдений представлены не в виде корреляционной таблицы, а в виде числовых массивов. Например:
№ |
ФИО |
Х |
Y |
1 |
Иванов И.И. |
х1 |
у1 |
2 |
Петров П.П. |
х2 |
у2 |
…. |
…. |
… |
… |
N |
Никонов Н.Н. |
хN |
yN |
В этом случае для определения коэффициентов уравнения регрессии также используется формула:
(12)
Для расчета коэффициента корреляции между величинами, заданными числовым массивом можно использовать формулу:
(13)
Где cov(X,Y) – ковариация величин Х и Y, рассчитываемая по формуле:
(14)
Пример. Составьте уравнение прямых регрессии Y на X и Х на Y, рассчитайте коэффициент линейной корреляции по экспериментальным данным представленным в таблице:
№ |
ФИО |
Х |
У |
1 |
Иванов И.И. |
1 |
1 |
2 |
Сидоров С.С. |
2 |
2 |
3 |
Петров П.П. |
3 |
3 |
4 |
Федоров Ф.Ф. |
1 |
2 |
5 |
Алексеев А.А. |
2 |
3 |
6 |
Александров А.А |
2 |
4 |
7 |
Ефимов И.И. |
3 |
9 |
8 |
Михайлов М.М. |
1 |
1 |
9 |
Львов Л.Л. |
3 |
2 |
Решение. 1. Составим вспомогательную таблицу для расчета уравнений регрессии:
№ |
Х |
У |
Х2 |
У2 |
ХУ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
4 |
4 |
3 |
3 |
3 |
9 |
9 |
9 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
2 |
5 |
2 |
3 |
4 |
9 |
6 |
6 |
2 |
4 |
4 |
16 |
8 |
7 |
3 |
9 |
9 |
81 |
27 |
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
9 |
3 |
2 |
9 |
4 |
6 |
∑ |
18 |
27 |
42 |
129 |
64 |
2. Рассчитаем вспомогательные величины:
= 18/9 =2; = 27/9 =3; = 42/9 =4,67; = 129/9 = 14,33;
= 64/9 = 7,11; σx2 = 4,67 – 4 = 0,67;
σy 2 = 14,33 – 9 =5,33.
3. Рассчитаем коэффициенты уравнения линейной регрессии :
ρYx = (7,11 - 2∙3)/0,67 = 1,66; b =(4,67∙3 - 2∙7,11)/ 0,67 = − 0,31
ρXy = (7,11 - 2∙3)/5,33 = 0,21; d = (14,33∙2 - 3∙7,11)/5,33 = 1,38.
4. Составим вспомогательную таблицу для расчета ковариации и коэффициента линейной корреляции.
=2 , =3
№ |
Х |
У |
Xi − |
Yi− |
(Xi − )( Yi− ) |
1 |
1 |
1 |
− 1 |
− 2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
0 |
− 1 |
0 |
3 |
3 |
3 |
1 |
0 |
0 |
4 |
1 |
2 |
− 1 |
− 1 |
1 |
5 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
6 |
2 |
4 |
0 |
1 |
0 |
7 |
3 |
9 |
1 |
6 |
6 |
8 |
1 |
1 |
− 1 |
− 2 |
2 |
9 |
3 |
2 |
1 |
− 1 |
− 1 |
∑ |
18 |
27 |
|
|
10 |
5. Рассчитаем ковариацию: cov(X,Y) = 10/9 =1,11
6. Рассчитаем коэффициент корреляции:
r = 1,11/√0,67∙√5,33 ≈ 0,59.
Ответ. Уравнения регрессии: х = 1,66∙х −0,31; у = 0,21∙у +1,38, коэффициент линейной корреляции 0,59.
Задания для контрольных работ
Графики. Структурные средние
1. По данным измерения напряжения тока в электросети построить статистическое распределение и начертить полигон. Найти моду и медиану.
220 211 211 221 220 221 220 220 214 214 221 220 221 220 220 220 211 214 213 220
227 218 218 220 223 223 220 223 218 218 223 220 227 220 220 220 218 218 218 227
223 219 219 220 223 223 220 223 218 218 223 220 223 220 220 220 219 218 218 222
227 228 228 220 223 223 220 223 228 228 223 220 227 220 220 220 228 228 228 227
222 218 218 220 223 222 220 223 218 218 223 220 222 220 220 220 218 218 218 222
221 218 218 220 221 223 220 221 218 218 223 220 221 220 220 220 218 218 218 221
224 218 218 220 224 223 220 223 218 218 223 220 224 224 220 224 218 218 218 224
221 218 218 220 223 223 220 223 218 218 223 221 221 220 220 220 218 218 218 221
227 228 228 220 223 223 220 223 228 228 223 220 227 220 220 220 228 228 228 227
225 218 218 225 220 225 220 220 218 218 220 220 225 220 225 220 218 218 218 225
2. Построить по данным наблюдения за сахаром в крови у нескольких человек интервальный вариационный ряд с равными интервалами (1: 3.45-3.65, 2: 3.65-3.85 и т.д.) и начертить гистограмму. Найти моду и медиану.
11. 3.84 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.88 3.88 3.57 3.89 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 4.08 4.02 4.14 4.33 4.06 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00.4.06 3.88 4.07
12. 3.98 3.88 3.86 3.88 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 4.08 4.02 4.14 4.33 4.06 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00.4.06 3.88 4.07
13. 3.94 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 4.08 4.02 4.14 3.45 4.06 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00.4.06 3.88 4.07
14. 3.94 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 4.08 4.02 3.45 3.89 3.45 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00.4.06 3.88 4.06
15. 3.94 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 3.45 3.89 3.45 3.56 3.89 3.45 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 3.45 3.99 3.88 3.99
16. 3.94 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 3.45 3.66 3.89 3.45 3.56 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 3.45 3.89 3.99 3.66
17. 3.99 3.54 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 4.08 4.02 4.04 3.45 4.06 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00.4.06 3.88 4.06
18. 3.64 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.87 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.99 3.76 3.55 3.60 3.89 3.76 4.00 3.48 3.52 3.64 3.73 3.96 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00 3.76 3.88 4.00
19. 3.74 3.84 3.86 3.84 3.76 3.61 3.45 3.46 3.47 3.82 3.94 3.98 3.98 3.57 3.69 3.96 3.55 3.60 3.99 3.76 4.00 4.08 4.02 4.14 4.33 4.06 3.45 3.45 3.46 3.4 7 3.82 4.00.4.06 3.98 4.07