1. Представим результаты эксперимента в виде корреляционной таблицы:

X Y	0	1	2	3	4	пу
10	3					3
15	7	3				10
20		6				6
25		1				1
30			4			4
35			5			5
40			1	3		4
45				4		4
50				3	3	б
55					4	4
60					3	3
nx	10	10	10	10	10	N=50

2. На основании данных, приведенных в корреляционной таблице, рассчитаем условные средние _х величины Y для всех Х по формуле (5):

_х=0 =(3∙10 + 7∙15)/(7+3) = 13,5;

_х=1 =(3∙15 +6∙20 +1∙25)/(3+6+1)= 19;

_х=2 =(4∙30+5∙35+1∙40)/4+5+1) = 33,5;

_х=3 = (3∙40+4∙45+3∙50)/(3+4+3) = 45;

_х=4 = (3∙50+4∙55+3∙60)/(3+4+3) = 55.

Теперь по этой же формуле рассчитаем условные средние значения Х для каждого из значений Y: _у=10 = 3∙0/3 =0; _у=15=(7∙0+3∙1)/10 =0,3; _у=20=6∙1/6=6;

_у=25=1∙1/1=1; _у=30=4∙2/4= 2; _у=35=5∙2/5 =2;

_у=40=(1∙2+3∙3)/(3+1)=2,75; _у=45= 4∙3/4 =3;

_у=50=(3 ∙3+3∙4)/(3+3)=3,5; _у=55=4∙4/4= 4; _у=60=3∙4/3= 4.

3. Составим вспомогательные таблицы для нахождения коэффициентов ρ_Yx, ρ_Xy соответственно.

xi	x	nxi	xi2	nxi∙ xi	nxi∙ xi2	nxi∙ xi∙ x
0	13,5	10	0	0	0	0
1	19	10	1	10	10	190
2	33,5	10	4	20	40	670
3	45	10	9	30	90	1350
4	55	10	16	40	160	2200
Сумма		50	30	100	300	4410

yj	y	nyj	yj2	nyj∙ yj	nyj ∙yj2	nyj ∙yj∙ y
10	0	3	100	30	300	0
15	0,3	10	225	150	2250	45
20	1	6	400	120	2400	120
25	1	1	625	25	625	25
30	2	4	900	120	3600	240
35	2	5	1225	175	6125	350
40	2,75	4	1600	160	6400	440
45	3	4	2025	180	8100	540
50	3,5	6	2500	300	15000	1050
55	4	4	3025	220	12100	880
60	4	3	3600	180	10800	720
Сумма		50	16225	1660	67700	4410

Подставим в формулы (8) числовые данные, полученные в таблицах: = 100/50=2; = 1660/50 = 33,2; (Х)²=4; (Y)²=1102,24; = 4410/50 = 88,2; =300/50 = 6; = 67700/50 = 1354;σ_х² = 6-4=2; σ_у² = 1354 – 1102Б24 = 251,76.

В соответствии с приведенной ранее формулой рассчитаем коэффициенты регрессии Y на X:

ρ_Yx = (88,2 - 2∙33,2)/2 ≈ 10,9;b = (6∙33,2 - 2∙88,2)/2 ≈ 11,4.

Аналогично рассчитаем коэффициенты регрессии Х на Y:

ρ_Xy= (88,2 - 2∙33,2)/251,76 ≈ 0,086;

d = (1354∙2 – 33,2∙88,2)/251,76 ≈ − 0,86.

Коэффициенты вычислены, запишем уравнения регрессии:

_х = 10,9∙х +11,4; _у = 0,086∙у − 0,86.

Коэффициент линейной корреляции.

Для полного описания корреляционной связи недостаточно просто найти форму корреляционной зависимости между величинами и определить ее силу по величине коэффициентов регрессии.

Для количественной оценки тесноты линейной корреляционной связи между величинами Х и Y вводят понятие коэффициента линейной корреляции, определяемого соотношением:

r = M((X-M(X))∙(Y_M(Y))/σ_x∙σ_y, (9)

где М – математическое ожидание соответствующей величины;

σ_x,σ_y, - средние квадратические отклонения величин Х и Y соответственно.

Основные свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю.

2. Коэффициент корреляции двух случайных величин, связанных линейной функциональной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей(прямой) зависимости, и −1 в случае убывающей(обратной).

3. Абсолютное значение коэффициента корреляции не превышает 1, т.е. −1≤ r ≤ 1.

На практике для оценки тесноты линейной корреляционной связи между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений используется формула:

(10)

Сравнением формулы (10) с приведенными выше уравнениями (8), получаем:

R = ρ_Yx∙ σ_x/σ_y = ρ_Xy∙σ_у/σ_х (11)

Пример. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции между количеством решенных задач и сырым баллом по шкале В(интеллект) теста Кэттелла по данным предыдущего примера.

Решение. Выборочный коэффициент линейной корреляции можно рассчитать, используя формулу (10):

r = (88,2 - 2∙33,2)/√2∙√251,7 = 0,96

Ответ: Полученное значение коэффициента линейной корреляции близко к 1, следовательно, в данном случае имеет место достаточно сильная прямая зависимость между правильно решенными задачами и сырым баллом по шкале теста Кэттелла.