2. Синусоїда

Синусоїда – плоска крива, утворена траєкторією точки кінця радіуса-вектора, який рівномірно обертається навколо центра і одночасно рівномірно поступально переміщується вздовж осі х. Вона показує зміну тригонометричної функції синуса залежно від зміни величини кута.

Оберніть свічку кілька разів аркушем паперу і потім переріжте її похило гострим ножем. Розняв обидві половини свічки і розгорнувши папір, отримаєте криву лінію, яка називається синусоїдою.

Форму синусоїди має одна зі сторін розгортки жерстяної труби, зрізаної навскоси.

Якщо сильно зігнути металеву лінійку, то можна побачити цю чудову криву в натурі.

Найбільш часто синусоїда зустрічається на графіках (коливання вантажу на пружині, коливання маятника і змінного струму). Графік коливання представляє собою синусоїду.

Побудувати синусоїду досить просто:

• задану окружності R ділять на довільну кількість частин, наприклад 12;

• проводять пряму АВ, яка повинна дорівнювати довжині окружності 2πR, і ділять її на таку саму кількість, тобто на 12;

• після чого проводять через точки поділу окружності 1, 2, 3, …, 12 прямі, паралельні прямій АВ і перетинаючи їх прямими проведеними через точки поділу окружності, отримують при перетині шукані точки синусоїди – А₁, А₂, А₃,…, А₁₂ .

3. Циклоїдні криві

3.1. Циклоїдою називають криву, яка є траєкторією руху точки кола, що без ковзання котиться по прямій або кривій. Вихідними даними для побудови циклоїди є коло певного радіуса.

Циклоїда – трансцендентна плоска (її не можна задати через алгебраїчну функцію).

Властивості циклоїди:

• періодична функція по осі абсцис, з періодом 2πR. За межі періоду зручно прийняти особливі точки виду t=2πk (k – довільне число);

• для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці А достатньо з’єднати цю точку з верхньою точкою кола;

• довжина арки дорівнює 8r;

• площа під кожною аркою циклоїди втроє більша, ніж площа круга, що її породжує.

Для побудови циклоїди:

• проводимо пряму СВ і на ній відмічаємо точку А – початок руху окружності заданого параметра або радіуса. До точки А проводять перпендикуляр і на ньому відкладають радіус чи зданий діаметр даної окружності;

• з отриманої точки О заданим радіусом описують окружність. Окружність ділять на рівні частини, наприклад на 12;

• на прямій СВ від точки А відкладають довжину окружності 2πR, яку ділять на ту саму кількість рівних частин;

• через точки поділу 1, 2, 3, …, 12 на окружності проводять лінії, паралельні даній прямій СВ. Лінія , яка проходить через центр окружності О, буде центровою лінією ОО₁₂;

• з точок поділу 1, 2, 3, …, 12 від прямої СВ проводять перпендикуляри до центрової лінії. Перетин перпендикулярів з центровою лінією – О₁, О₂, О₃,…,О₁₂ – суть положення окружності в різні моменти руху;

• з точок О₁, О₂, О₃,…,О₁₂ описують окружності заданого радіуса. В точках перетину цих окружностей з лініями, проведеними з точок поділу окружності в первинному її положенні , паралельними СВ, отримують точки, які належать кривій циклоїди;

• з’єднуючи отримані точки по лекалу, отримують криву, яка називається циклоїда.

3.2. Гіпоциклоїда – плоска крива, яка описує точку окружності при її котінні без ковзання по внутрішній дузі нерухомої окружності.

Окружність, яка котиться називається – похідною, а дуга – напрямною.

Побудувати гіпоциклоїду по заданому радіусу R напрямної дуги і діаметру D похідної окружності:

• з точки О як з центра радіусом R проводять направляючу дугу;

• визначають за формулою: α = 180d/R центральний кут α і з точки О проводять два промені – ОА і ОВ, кут між якими дорівнює знайденому значенню α;

• з точки О₀ проводять центральну лінію похідної окружності радіусом, який дорівнює відрізку ОО₀. Ця лінія перетне промені , які проходять через точки А і В, в точках О₀ і О₁₂;

• з центра О₀ проводять похідну окружність діаметром D і ділять її на 12 рівних частин, позначаючи точки поділу;

• дугу АВ ділять на таку саму кількість рівних частин і також позначають всі точки;

• з точки О через точки поділу О₁ … О₁₂ проводять промені до перетину з лінією центрів, а через точки поділу 1…12 похідної окружності проводять допоміжні дуги;

• перетин допоміжних дуг з похідною окружністю під час її руху дадуть шукані точки, з’єднавши які плавною кривою по лекалу, отримують криву, яка називається гіпоциклоїдою.

3.3. Епіциклоїда – плоска крива, яка описує точку окружності при її котінні без ковзання по зовнішній дузі нерухомої окружності.

Якщо позначити діаметр похідної окружності D, радіус напрямної дуги через R, а центральний кут охоплення епіциклоїди α , то ці величини будуть взаємозв’язані за формулою: α = 180D/R.

Побудова епіциклоїди виконується аналогічно побудові гіпоциклоїди.

3.4. Евольвента – плоска крива, яка утворюється точкою на прямій, яка рухається без ковзання по нерухомій окружності заданого радіуса.

Щоб уявити зазначену криву, уявімо, що на циліндрі намотана нитка, один кінець якої закріплений на ньому нерухомо, а на іншому кінці вміщено вістря олівця.

Натягуючи кінець нитки і одночасно змотуючи її з циліндра, опишемо олівцем плоску криву, яка і буде евольвенти окружності.

Побудувати евольвенту можна за кілька кроків.

• задану окружність ділять на довільну кількість рівних частин, наприклад 12;

• у точках 1…12 проводимо дотичні до окружності;

• на кожній з цих дотичних послідовно відкладають довжину окружності, яка дорівнює πD/12 – в точці 1, потім 2πD/12 – в точці 2, 3πD/12 – 3 і т.д.;

• на дотичній до точки 12 відкладають довжину окружності, яка дорівнює πD;

• з’єднуючи послідовно плавною кривою по лекалу отримані точки 1’, 2’, 3’…12’, отримаємо криву, яка називається евольвентою.