ЗМІСТ
ВСТУП..................................................................................................................3
РОЗДІЛ 1. Лекальні криві в кресленні ...........................................................5
1. Криві другого порядку..................................................................5
1.1 Еліпс.........................................................................................5
1.2 Парабола..................................................................................6
1.3Гіпербола..................................................................................7
2. Синусоїда........................................................................................8
3. Циклоїдні криві..............................................................................9
2.1 Циклоїда................................................................................10
2.2Гіпоциклоїда...........................................................................11
2.3 Епіциклоїда...........................................................................12
2.4 Евольвента.............................................................................12
4. Спіраль Архімеда.........................................................................13
РОЗДІЛ 2. Лекальні криві в техніці..............................................................15
ВИСНОВКИ.......................................................................................................16
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ..........................................................17
ДОДАТКИ
Вступ
Характеризуючи розумову діяльність на уроках креслення , необхідно звернути увагу на дуже важливий аспект, що навчання кресленню неможливе без добре розвиненого образного мислення. Адже переважна більшість розумових дій при виконанні графічних вправ передбачає створення просторових образів та оперування ними, трансформацію, видозмінення, перетворення структурних властивостей образу з наданням останнім характерних динамічних властивостей. Для побудови лекальних кривих також необхідне розумове мислення.
Обираючи тему для даної роботи мені стало цікаво ознайомитися з методами побудови кривих ліній, а саме лекальних, дослідити їх різноплановість та застосування цих ліній в техніці.
Для початку хочу надати початкові знання (інформацію) про лінії, а саме криві лінії.
Лінії займають особливе становище в нарисній геометрії. Використовуючи криві лінії, можна створити наочні моделі багатьох процесів і простежити їх протягом часу. Лінії дозволяють встановити та дослідити функціональну залежність між різними величинами. За допомогою ліній вдається вирішувати багато наукових і інженерних завдань, вирішення яких аналітичним шляхом часто призводить до використання надзвичайно громіздкого математичного апарату.
Крива лінія – це траєкторія переміщення точки. Якщо крива лінія поєднується усіма точками з площиною, її називають плоскою. Порядком плоскої алгебраїчної кривої вважають максимальну кількість точок її перетину з прямою лінією. До плоских кривих відносять всі криві другого порядку.
Лекальні криві – це криві, точки яких не лежать на колі і характерні точки яких з’єднуються за допомогою лекала.
До лекальних кривих відносять еліпс, параболу, гіперболу, синусоїду, циклоїдну криву, епіциклоїду, гіпоциклоїду, евольвенту, спіраль Архімеда тощо.
На відміну від циркульних (коробових) кривих, які будують за допомогою циркуля, для побудови лекальної кривої необхідно визначити ряд точок, які їй належать і з’єднати їх за допомогою лекала.
При побудові профілю зуба зубчастих коліс і рейок застосовуються лекальні криві: циклоїда, епіциклоїда, гіпоциклоїда, евольвента окружності. У техніці знаходить своє застосування і синусоїда.
Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі – комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі
Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він розглядав основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в літературі з математики лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.
В результаті перетину тіл обертання (конусів, циліндрів) площинами утворюються перерізи, контури яких можуть бути лекальними кривими. Перетин площини, перпендикулярній осі конуса, утворює коло. Перетин площини, не перпендикулярній осі конуса, з однією з частин конуса утворює еліпс або параболу. Крива, отримана перетином площини з обома частинами конуса називається гіперболою.
Розділ 1
Лекальні криві в кресленні
1.Криві другого порядку
Криві другого порядку — це геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого степеня, де хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля. Лінії другого порядку є конічними перерізами.
1.1. Еліпс – це плоска крива, для довільної точки якої сума відстаней до двох фіксованих точок (фокусів F1 та F2) є величиною сталою та дорівнює довжині великої його осі.
З цією кривою ми зустрічаємося на кожному кроці. Нахиліть трохи склянку з водою, і поверхня води прийме форму еліпса. Світло , що падає від електролампи з конічним абажуром на похилу креслярську дошку, утворює на ній світлу пляму у вигляді еліпса.
З цього випливає, що при перетині циліндра або конуса похилою площиною в перетині виходить еліпс. Але при перетині похилою площиною конуса можуть вийти й інші лінії, наприклад парабола.
Побудувати еліпс можна кільком способами.
Наприклад, побудувати еліпс можна за заданими великою і малою осями;
з точки О – центру еліпса – проводять дві окружності: одну радіусом, рівним великої півосі, іншу радіусом, рівним малої півосі;
через центри проводять ряд проміжних діаметрів;
з точок перетину цих діаметрів з великою окружністю проводять лінії, паралельні малої осі еліпса, а з точок перетину їх з малою окружністю – паралельні великої осі;
перетин цих ліній визначають точки еліпса. Потім з’єднують отримані точки, які належать еліпсу, за допомогою лекала.
Можна привести приклад побудови еліпса по двом сполученим колам, побудованих діаметрами MN і KL. (Сполученими два діаметра називають, якщо кожний з них ділить навпіл хорди, паралельні іншому діаметру):
на сполучених діаметрах будують паралелограм;
один з діаметрів MN ділять на рівні частини;
на такі самі частини ділять і сторони паралелограма, паралельні іншому діаметру, нумеруючи їх;
з кінців другого сполученого діаметра KL через точки поділу проводять промені. В перетині однойменних променів отримують точки еліпса.
Для точності побудови поступово з’єднують по три точки.
1.2. Парабола – плоска крива, кожна точка якої рівновіддалена від директриси – прямої, перпендикулярної до осі симетрії параболи, та від фокуса – точки, яка належить осі симетрії параболи.
Ви, напевно, бачили, які яскраві і рівні пучки світла кидають в небо потужні прожектори. Автомобільні фари і кишеньковий ліхтарик також дають рівний пучок світла. Це досягається застосуванням параболічного відбивача.
Параболу можна отримати, так само як і еліпс, при перетині конуса площиною, але площина перетину у даному випадку повинна бути паралельна твірній конуса.
Особливістю параболи є та обставина, що відстань будь-якої її точки від фокуса та директриси рівні між собою.
Побудувати параболу можна по заданому параметру p. Параметр параболи – відстань між фокусом та директрисою; єдина величина, від якої залежить обрис цієї кривої. Зі зміною параметра змінюється і крива параболи: чим менше параметр, тим вужче крива параболи; чим параметр більше, тим ширше крива.
Для побудови:
проводимо горизонтальну вісь параболи і на ній відкладаємо заданий параметр p;
після чого визначаємо точку А – вершину параболи, фокус та директрису. Вершина параболи А знаходиться в середині відрізка OF, тобто на відстані p/2 від точок О та F;
через точку О проводимо пряму лінію СD, перпендикулярну головній осі АВ;
вправо від вершини А відзначаємо ряд довільних точок 1, 2, 3, 4, 5, 6;
через відзначені точки проводимо прямі паралельні СD, і на них з фокуса F як з центру радіусом О-1,…, О-6 робимо зарубки (дуги), перетинаючи прямі в точках 1’-1; 2’-2 і т.д.;
поєднуючи отримані точки з вершиною і між собою за лекалом, отримаємо криву лінію, яка називається параболою.
Розглянемо приклад побудови параболи по її вершині О і якій-небудь точці В :
з цією метою будують прямокутник ОАВС і ділять його на рівні частини;
з точок поділу проводять проміні. В перетині однойменних променів отримують точки параболи.
Можна привести приклад побудови параболи у вигляді кривої, дотичній прямій з заданими на них точками А і В:
сторони кута, утвореними цими прямими, ділять на рівні частини і нумерують точки поділу;
однойменні точки з’єднують прямими. Параболу викреслюють як криву, яка огинає ці прямі.
1.3. Гіпербола – симетрична плоска крива, у якої різниця відстаней від кожної її точки до двох заданих точок F1 і F,які названі фокусами, є величина стала і дорівнює відстані між вершинами:
F1B – FB = F1B1 – FB1 = …= F1n – Fn = AA1.
Гіперболу можна отримати перетинаючи поверхню конуса площиною, яка паралельна одній з його осей, але яка не проходить через вершину конуса.
Гіпербола складається з двох симетричних гілок і має дві осі симетрії. Обидві гілки прагнуть наблизитися до ліній, які називаються асимптотами. Точка перетину асимптот називається центром. Відстань між вершинами гілок гіперболи називається параметром гіперболи.
Отже, будують гіперболу у такій послідовності:
проводять дві взаємно перпендикулярні прямі і за даними розмірами визначають на горизонтальній прямій положення фокусів F1 і F2 і вершин гіперболи А і В;
від фокусу F2 вправо відзначають довільні точки 1, 2, 3 ... так, щоб відстань між ними збільшувалася у міру віддалення від фокуса ;
з фокусу F1, як з центру, проводять дугу кола радіусом А-1, а з фокусу F2 - дугу радіусом В-1;
у перетині цих дуг окружності отримують точки правої гілки гіперболи.;
відповідні точки лівої гілки знаходимо на перетині дуг кіл, проведених з F1 радіусом В-1 і з точки F2 - радіусом А-1;
у такій же послідовності радіусами А-2 і В-2, А-3 і В-3, ... знаходимо точки II, III, ... шуканої гіперболи.