5. Графическое представление сгруппированных рядов данных натурных наблюдений

Для графического изображения рядов распределения стро­ятся гистограмма и интегральные кривые распределения. Резуль­таты расчетов сводим в таблицу 3.

Таблица 3

Определение ординат эмпирических кривых распределений

N	Границы интервалов	Частота	Относительная частота,	Приведённая частота,
1	2	3	4	5
1	14.59 – 16.79	7	0.23	0.1
2	16.79 – 18.99	3	0.1	0.05
3	18.99 – 21.19	12	0.4	0.18
4	21.19 – 23.39	4	0.13	0.06
5	23.39 – 25.59	1	0.03	0.01
6	25.59 – 27.79	3	0.1	0.05

nотн – относительная частота определяется отношением эмпирической частоты к объёму выборки и характеризует вероятность появления случайно величины в каждом интервале

nпр – приведённая частота или плотность распределения случайно величины в заданном интервале:

nпр= nотн/h

Гистограмма.

6. Проверка статистических гипотез.

а) Проверка выборок на однородность.

Вопросы удлинения рядов данных натурных наблюдений преследует цель корректировки статистических параметров. Для проверки выборок в сходстве формирования случайных величин используют статистические критерии однородности. Как правило, анализируются выборки попарно. Результатом статистического анализа на однородность является объединение двух выборок в од­ну или отрицание однородности между сравниваемыми сово­купностями. В качестве примера использования статистических критериев однородности при практических расчетах студенты об­мениваются выборками и проверяют их на однородность. Для рас­четов используются критерии однородности: параметрический — критерий Фишера; непараметрический — критерий Вилкоксона.

Критерий Фишера основан на равенстве дисперсий выбо­рок распределенных приближено нормально. Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

причем необходимо выполнение условия D₁> D₂ , где

D₁ — дисперсия выборки X (допустим, что выполняется

вышеприведенное условие);

D₂ — дисперсия выборки Y (по условию меньше дисперсии выборки X).

Для определения области допустимых значений необхо­димо задаться уровнем значимости и числом степеней свободы (для практических расчетов уровень значимости принимаем рав­ным 0,05, число степеней свободы рассчитывается по следующей зависимости:

, ;

Используя таблицы F-распределения, оп­ределяется критическое значения критерия в зависимости от вы­бранного уровня значимости и числа степеней свободы. Если вы­полняется условие, при котором расчетное значение критерия Фи­шера не превосходит критическое, то можно предположить, что наши ряды однородны и сравниваемые выборки можно объединить в один ряд.

Из непараметрических критериев однородности можно выделить статистический критерий однородности Вилкоксона. Расчеты проводим в следующем виде и последовательности: зна­чения обеих выборок (Х и Y) упорядочиваются вместе по величине, с учетом выборки из которой взято значение. Сумма инверсий оп­ределяется следующим образом: по построенному вариационному ряду из двух сравниваемых выборок проводят подсчет инверсий (инверсией считается величина, характеризующаяся следующим неравенством х_i > y_i) т. е. определяют, сколько значений У- выборки находится перед каждым значением Х-выборки. Расчетное значе­ние критерия Вилкоксона определяется по формуле:

Критическое значение статистического критерия однород­ности Вилкоксона определяется по таблицам или с помощью фор­мулы:

где коэффициент Z_a определяется по формуле:

,

где Ф₀ — функция нормированного и центрированного закона нормального распределения.

Допустим, необходимо сравнить две выборки на принад­лежность их одной генеральной совокупности:

Х Y

	18.46
	20.72
	20.93
	21.17
	21.59
	21.95
	21.97
	22.06
	22.22
	22.43
	22.71
	23.07
	24.59
	24.63
	24.72
	24.79
	24.81
	25.16
	25.48
	25.54
	25.58
	26.05
	26.11
	26.33
	26.97
	27.74
	28.31
	29.02
	30.51
	35.56

	14.59
	14.97
	15.23
	15.53
	15.56
	16.34
	16.76
	17.35
	17.47
	18.99
	19.03
	19.31
	19.37
	19.44
	19.55
	19.57
	19.64
	19.79
	20.19
	20.62
	21.06
	21.34
	21.66
	21.78
	22.41
	24.47
	24.75
	25.65
	26.62
	27.77

D₁ = 10.62 D₂ = 9.846

Критерий Фишера:

Область допустимых значений определяется в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы: а = 0,05; m₁ = 29; m₂ — 29. По таблицам F-распределения опреде­ляем, что критическое значение критерия Фишера равно 2,15. По­лученное расчетное значение критерия Фишера не превышает кри­тического. Исходя из этого можно сделать вывод, что оно нахо­дится в области допустимых значений, и нулевая гипотеза под­тверждается, а это значит, что сравниваемые выборки однородны (принадлежат одной генеральной совокупности), и их можно объе­динить в одну. Данное предположение (о принадлежности сравни­ваемых выборок одной генеральной совокупности) проверим непа­раметрическим критерием однородности Вилкоксона. Для этого необходимо провести следующие действия:

Величины обеих выборок располагаются в порядке воз­растания с учетом того из какой выборки взято значение. Исполь­зуя рассматриваемый пример получим:

14.59(х);14.97(х);15.23(х);15.53(x);15.56(x);16.34(х);16.76(х);

17.35(х);17.47(х);18.46(y);18.99(х);19.03(х);19.31(х);19.37(х);

19.44(х);19.55(х);19.57(х); 19.64(х);19.79(х);20.19(х);20.62(х);

20.72(y);20.93(y);21.06(х);21.17(у);21.34(х);21.59(у);21.66(х);

21.78(х);21.95(y);21.97(y);22.06(y);22.22(y);22.41(х);22.43(y);

22.71(у);23.07(у);24.47(х);24.59(у);24.63(у);24.72(у);24.75(х);

24.79(у);24.81(у);25.16(y);25.48(y);25.54(y);25.58(y);25.65(х);

26.05(y);26.11(у);26.33(у);26.62(х);26.97(у);27.74(у);27.77(х);

28.31(у);29.02(у);30.51(y);35.56(y).

u =l + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 11 + 14 + 20 + +23+25=129;

По формулам определяются расчетное и крити­ческое значение критерия Вилкоксона:

;

расчетное значение критерия Вижоксона равно В_рас = 321.

По таблицам нормированной и центрированной кривой нормального распределения определяем аргумент по значению функции (Z_a = 1,96), критическое значение равно В_кр = 132.57.

Расчетное значение критерия Вилкоксона оказалось мень­ше критического. С учетом того, что критическая область данного критерия правосторонняя, принимаем нулевую гипотезу, которая подтверждает однородность сравниваемых совокупностей.

Использование критериев согласия преследует цель поиска закона распределения генеральной совокупности, которой принад­лежит данная анализируемая выборка. Расчеты проводятся для ис­ходной выборки (X) при N = 30. Цель расчетов заключается в сле­дующем: с помощью критерия согласия Пирсона проверить при­надлежность эмпирического материала нормальной кривой рас­пределения (кривая Гаусса). Основные положения по кривой рас­пределения приведены выше.

Как и при проверке однородности выдвигается нулевая ги­потеза, но в данном случае она утверждает согласие значений вы­борки со значениями нормальной кривой распределения, т. е. при увеличении данных натурных наблюдений до бесконечности, рас­пределение случайных чисел отвечает выбранному закону распре­деления. Расчет по критерию Пирсона основан на определении теоретической частоты в эмпирических интервалах, и если эмпи­рическая частота и теоретическая отличаются незначительно, то принимается нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Расчетная формула статистического критерия согласия Пирсона или х² имеет следующий вид:

где К— количество интервалов;

n_i — эмпирическая частота;

n_t — теоретическая частота.

Для того, чтобы использовать аналитические законы рас­пределения, необходимо знать область возможных значений слу­чайных величин (для нормально распределенной случайной вели­чины область возможных значений определяется интервалом (-оо; +оо)). Расчеты сводим в таблицу 4. При этом необходимо выпол­нить следующее условие: для граничных классов N-Pi > 1, а для внутренних — N-Pi > 5. Если условие не соблюдается, то классы необходимо укрупнять.

Таблица 4

Определение выборочного значения х²рас на согласие эмпириче­ского распределения с нормальным законом распределения.

N
1	2	3	4		5		6	7	8	9
0	-∞ - 14.59	0	-∞	-1.64	-0.5	-0.45	0.05	1.5	-1.5	1.5
1	14.59 – 16.79	7	-1.64	-0.97	-0.45	- 0.33	0.12	3.6	3.4	3.21
2	16.79 – 18.99	3	-0.97	-0.29	-0.33	-0.01	0.32	9.6	-6.6	4.54
3	18.99 – 21.19	12	-0.29	0.38	-0.01	0.15	0.16	4.8	7.2	10.8
4	21.19 – 23.39	4	0.38	1.06	0.15	0.36	0.2	6.3	-2.3	0.84
5	23.39 – 25.59	1	1.06	1.73	0.36	0.46	0.1	3	-2	1.33
6	25.59 – 27.79	3	1.73	2.41	0.46	0.49	0.03	0.9	2.1	4.9
7	27.79 - +∞	0	2.41	+∞	0.49	0.5	0.01	0.3	-0.3	0.3
							1	30	0	27.42

Условные обозначения:

a_i — границы интервалов;

n_i — эмпирическая частота;

b_i — нормированная и центрированная случайная вели­чина:

Ф₀(b_i) — значение функции нормального закона распреде­ления на границах интервалов определяется по таблицам;

Pi — теоретическая попадания случайной величины в за­данный интервал, Pi = Ф₀(b_i) - Ф₀(b_i-1);

N—объем выборки, N~ 30;

N-Pi — теоретическая частота.

В результате проведенных расчетов получили искомое расчетное значение критерия Пирсона х²_рас =27.42.

Критическое значение критерия Пирсона определяется по таблицам или по формуле:

где т — число степеней свободы, т = К- 1;

Z₂a— коэффициент, определяемый по формуле:

,

0.45, Z₂a=1.65.

Учитывая это, критическое значение критерия Пирсона равно:

10.81

Если расчетное значение не превышает критического на выбранном уровне значимости нулевая гипотеза принимается, что подтверждает принадлежность исследуемой выборки нор­мальному закону распределения.

Вывод: условие не соблюдается, принимается альтернативная гипотеза. Наша империческая прямая не согласуется с нормальным распределением. Результаты расчётов не могут быть использованы в дальнейших исследованиях, в частности, для математического моделирования, трансформации загрязняющего вещества в водной или воздушной среде методом Монте-Карло. Необходимо взять для дальнейших исследований другой закон распределения и выполнить расчёты.

Заключение

Мы построили вариационный ряд, сгруппировали данные, графически изобразили ряды. Результаты расчетов могут быть использованы в дальнейших исследованиях, в частности, для математического моделирования трансформации загрязняющего вещества в водной или воздушной среде.

12