4. Графическое изображение кривых распределения.

Графическое изображение сгруппированных вариацион­ных рядов распределения облегчает их анализ и позволяет в пер­вом приближении судить о форме кривой генеральной совокупно­сти. Для графического изображения рядов распределения приме­няют гистограмму (кривая распределения плотности вероятностей, дифференциальная кривая распределения). Гистограмма строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются равные от­резки, которые в принятом масштабе соответствуют величинам границ интервалов вариационного ряда, на отрезках строятся пря­моугольники с высотами, равными относительным частотам (отно­сительная частота определяется отношением частоты каждого ин­тервала объему выборки и характеризует вероятность попадания случайной величины в интервал). Гистограмму принято преобразо­вывать в полигон распределения путем соединения середин верх­них сторон прямоугольников отрезками. График, построенный по результатам натурных наблюдений, обуславливает вид эмпириче­ской кривой распределения.

Дополнительно к гистограмме строится суммарная кривая распределения (интегральная функция распределения). В практике гидрологических расчетов принято использовать обратную функ­цию суммарной кривой распределения, называемую обеспеченно­стью. Обеспеченность характеризует вероятность превышения данной случайной величины. Принцип построения суммарной кривой распределения приводится на примере.

5. Изучение формы кривой распределения.

Для получения приблизительного представления о форме кривой распределения строят графики распределения (гистограмму и полигон распределения). Число наблюдений, по которому стро­ится эмпирическое распределение, обычно невелико и представ­ляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. Эмпирические данные в определенной степени связаны со случай­ными ошибками, возникновение которых зачастую неизвестно, что искажает основную закономерность изменение величины признака. При увеличении числа наблюдений одновременно с увеличением количества интервалов и уменьшением их длины полигон посте­пенно перерастает в кривую распределения.

Кривая распределения характеризует теоретическое (ана­литическое) распределение, т.е. распределение, которое получи­лось бы при полном погашении всех случайных причин, искажаю­щих основную закономерность. Исследование формы распределе­ния включает решение следующих задач:

1. Определение общего характера распределения;

2. Выравнивание эмпирического распределения (по­строение аналитической кривой распределения);

3. Проверка соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому.

В практике статистического исследования природоохран­ной деятельности приходится встречаться с самыми разными ви­дами распределений. Как правило, однородные, совокупности име­ют одновершинную форму, многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности.

Выявление общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений среднее арифметическое, мода и медиана совпадают, коэффициент асим­метрии равен нулю (С, = 0). При правосторонней (С, > 0) между показателями центра распределения существует следующее соот­ношение М₀ < М_е< Х_ср. Отрицательный знак показателя асиммет­рии (C_s < 0) свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии. Между показателями центра распределения в этом случае имеем М₀ > M_t> Х_Ср.

Оценку степени существенности асимметрии выборки можно определить с помощью средней квадратичной ошибки, ко­торая зависит от объема наблюдений и рассчитывается по форму­ле:

Wcs=

Если отношение \C_S\/Wcs > 3, асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Для симметричных распределений оценивается сущест­венность эксцесса. Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирической кривой распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения (кривая Гаусса). Если величина коэффициента эксцесса положительная, то распределение островершинное, отрицательная — плосковершинное. Средняя квадратичная ошибка эксцесса рассчитывается по формуле:

Wce=

Если отношение \C_e\!Wce < 3, то эксцесс не свойственен распределению признака в генеральной совокупности.

Оценка существенности показателей асимметрии и экс­цесса позволяет сделать вывод о возможном использовании для анализа эмпирического материала кривых по типу нормального за­кона распределения.

Если случайная величина имеет плотность распределения то она подчиняется нормальному закону распределения. Нормаль­ное распределение является двух параметрическим, т.е. для его по­строения необходимо определить среднее арифметическое и сред­нее квадратическое отклонение. Для приведения кривых к одному началу случайные величины нормируются и центрируются по сле­дующему механизму: из каждого значения вариационного ряда вычитается среднее арифметическое, результат от разности де­лится на среднее квадратическое отклонение. В данном случае по­лученный новый ряд величин имеет следующие характеристики: Х_ср = 0 и σ = 1, Исходя из принципа нормирования и центрирования составлены таблицы теоретических кривых распределения. Коли­чественные значения, имеющие плотность распределения вероят­ности случайных величин называются нормированной и центрированной функцией нормального закона распределения.

Приведем некоторые свойства нормальной кривой распре­деления;

1. Значения функции определены на всей протяженности числовой прямой;

2. Кривая симметрична относительно максимальной ординаты;

3. Максимальная ордината соответствует M_о= Ме= Х_ср

4. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, чем больше

значения отклоняются от Х_ср, тем реже они встречают­ся;

5)Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения случайной величины от среднего арифме­тического равновероятны;

6)Кривые имеют две точки перегиба, находящиеся на расстоянии ± σ от Х_ср;

7)При Х_Ср - const увеличением σ кривая становится более поло­гой, при σ = const с изменением Х_ср кривая не изменяет своей формы, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс;

8)Отклонение случайной величины от среднего арифметического на ± σ определяет площадь фигуры, равную 68,3% от общей площади, в промежутке Х_ср ± 2 σ находится 95,4% всех значений признака, Х_ср ± 3 σ приходится 99,7%.

Использование нормального закона распределения осно­вано на центральной предельной теореме, которая формулируется следующим образом: нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случай­ных факторов, действие этих факторов независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния над другими.

6. Проверка статистических гипотез

Статистические критерии можно разделить на следующие группы: критерии однородности и критерии согласия. С помощью критериев однородности исследователь пытается на основе отры­вочных данных удлинить ряд данных натурных наблюдений. Экс­периментатор проверяет на однородность несколько рядов натур­ных наблюдений с целью объединения их в один. Необходимость использования критериев однородности обусловлена стремлением получить более совершенные расчетные параметры кривых рас­пределения (с увеличением объема выборки расчетные величины приобретают количественную стабильность, увеличивается суще­ственность каждой характеристики, проявляются закономерности распределения случайных величин). Критериев однородности дос­таточно много. Наиболее распространенными в практических рас­четах являются критерии Фишера и Стьюдента (параметрические критерии, - в основе которых лежит предположение о принадлеж­ности случайных величин к нормальному закону распределения), из непараметрических можно выделить критерий Вилкоксона (нет предположений о законах распределения сравниваемых выборок).

Критерии согласия позволяют подобрать к эмпирическому распределению конкретное теоретическое. Наиболее распростра­ненным в практических расчетах является критерий Пирсона или X².

Цель использования критериев заключается в определе­нии закономерностей возникновения случайных величин, их свойств, которые определяют сущность прогнозов и играют важ­ную роль в управлении природными явлениями;

Использование статистических критериев осуществляется следующим образом:

а) Выдвигается нулевая гипотеза (Н₀): при использовании критериев, например, однородности — исследуемые ряды одно­родны. Далее на основании выбранного критерия, пытаемся дока­зать или опровергнуть выдвинутое предположение (Но).

б) Используя зависимости статистического критерия, по­лучаем расчетное значение критерия.

в) Определение области допустимых значений, т.е. тот промежуток на числовой прямой, на котором подтверждается нулевая гипотеза. Область допустимых значений определяется сле­дующим образом:

• определяют уровень значимости а, характеризующий вероятность ошибочного решения, в практических расчетах его принимаю равным 0,05. При выбранном уровне значимости дове­рительная вероятность составляет 95%, что удовлетворяет требо­ваниям практических расчетов;

• число степеней свободы (данная величина различна в зависимости от используемого критерия, но в большинстве случаев зависит от объема выборки).

С помощью таблиц или расчетных формул при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы рассчитывается кри­тическое значение статистического критерия. Критическое значе­ние характеризует границу между областью допустимых значений и критической областью. Попадание расчетного значения в область допустимых значений подтверждает нулевую гипотезу, исследуе­мые ряды объединяем в один ряд и проводим статистическую об­работку (определяем расчетные параметры). При использовании критериев согласия, если расчетное значение статистического кри­терия попадает в область допустимых значений, утверждаем, что эмпирическое распределение согласуется с конкретным аналитиче­ским законом распределения, и свойства данного закона распреде­ления можно использовать при анализе данных натурных наблю­дений.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЙ РАСЧЕТНО-ГТАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Допустим, что в результате натурного эксперимента полу­чены следующие количественные значения концентрации конкрет­ного загрязняющего вещества (примерами могут служить норми­руемые загрязняющие вещества в окружающей среде: биогены, нефтепродукты, тяжелые металлы, фенолы и т.д.) в определенном пункте контроля. Целью расчета является получение основных ста­тистических характеристик и их анализ, подбор генеральной сово­купности по результатам натурных наблюдений.

Исходные данные

	17.35
	17.47
	21.66
	15.56
	22.41
	24.47
	19.79
	20.62
	24.75
	16.34
	18.99
	16.76
	25.65
	19.37
	26.62
	15.53
	14.59
	19.55
	19.03
	19.57
	19.31
	21.34
	15.23
	14.97
	19.44
	19.64
	21.06
	21.78
	27.77
	20.19