4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

После успешного освоения курса уровень знаний студента, изучившего дисциплину «Методы оптимизации», должен позволить ему самостоятельно ставить и решать задачи оптимизации, возникающие в самых разных областях хозяйственной деятельности.

II. Содержание дисциплины

1. Темы и их краткое содержание

Тема 1. Основные положения оптимизации

Постановка задачи оптимизации. Необходимые условия для постановки задачи оптимизации. Понятие критерия оптимизации. Виды задач оптимизации. Оптимизация в задачах управления и проектирования. Классические основы оптимизации. Понятие локального и глобального экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции. Понятие функционала. Классификация методов оптимизации.

Тема 2. Использование классического вариационного исчисления в задачах оптимизации

Задачи, приводящие к вариационным проблемам. Основные определения. Основные леммы вариационного исчисления. Простейшая задача вариационного исчисления – задача с фиксированными границами. Уравнение Эйлера. Частные случаи уравнения Эйлера. Канонический вид уравнения Эйлера.

Тема 3. Вариационные задачи с подвижными границами и задачи на условный экстремум

Постановка вариационной задачи с подвижными концами. Понятие естественных краевых условий. Постановка вариационной задачи с подвижными границами. Условия трансверсальности. Методы решения задач с подвижными концами и подвижными границами.

Тема 4. Вариационная задача на условный экстремум

Постановка вариационной задачи на условный экстремум. Понятие условий связи и целевого функционала. Виды связей. Типы задач на условный экстремум – задача Лагранжа, изопериметрическая задача. Необходимые условия в задаче Лагранжа. Понятие функции Лагранжа и множителей Лагранжа. Необходимые условия в изопериметрической задаче.

Тема 5. Задачи оптимального управления

Постановка задачи оптимального управления. Понятие фазовых координат, фазового пространства, фазовой траектории. Классификация задач управления по количеству и характеру краевых условий. Понятие критерия качества управления. Виды критериев качества управления. Использование вариационных методов в задачах оптимального управления. Линейные задачи оптимального управления.

Тема 6. Использование методов динамического программирования в задачах оптимизации

Общая постановка задачи динамического программирования. Интерпретация управления в фазовом пространстве. Принцип оптимальности Беллмана. Различные формулировки принципа оптимальности. Задача о наборе высоты и скорости летательным аппаратом. Задача о распределении ресурсов. Рекуррентное соотношение Беллмана. Решение задачи динамического программирования с учетом предыстории процесса. Задачи динамического программирования, не связанные со временем. Задачи динамического программирования с мультипликативным критерием.

Тема 7. Прямые методы отыскания экстремума функции одной переменной

Понятие прямых методов поиска экстремума. Понятие унимодальной функции. Пассивный или параллельный поиск экстремума. Оптимальная стратегия пассивного поиска экстремума. Эффективность пассивного поиска. Последовательный или активный поиск экстремума. Стратегии поиска экстремума методом дихотомии, Фибоначчи и золотого сечения. Сравнительная эффективность данных методов. Эквивалентность задачи нахождения экстремумов функции и задачи нахождения нулей функции. Метод Ньютона и метод секущих в задаче нахождения нулей функции.