Скорость и ускорение произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса

Скорость произвольной точки М твердого тела определяется по формуле

, (2.3)

где – радиус-вектор точки М относительно неподвижного полюса (рис. 2.4,а). Величина скорости , где – расстояние от точки М до мгновенной оси вращения . Направление вектора скорости определяется направлением векторного произведе- ния (2.3).

Величина и направление скорости точки могут быть определены через алгебраические величины ее проекций на оси координат Оxyz (или аналогично на оси Oξηζ):

; ; ,

где (x, y, z) – координаты данной точки, , , – алгебраи-ческие величины проекций угловой скорости на оси координат Оxyz, вычисленные по формулам (2.1).

Ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса, определяется из геометрической суммы двух ускорений: , – осестремительного и вращательного (рис. 2.4,б).

Величина и направление каждой из составляющих ускорений определяются формулами

или (2.4)

по величине ; (2.5)

по величине , где – расстояние от точки М до линии действия углового ускорения.

Осестремительное ускорение всегда направлено по перпендикуляру, опущенному из точки М на мгновенную ось вращения. Вращательное ускорение направлено по перпендикуляру к плоскости векторов , в ту сторону, откуда поворот от к виден, против часовой стрелки. Полное ускорение точки находим геометрическим сложением векторов и , а по величине

. (2.6)

Порядок выполнения задания

Задача сформулирована отдельно для каждого варианта, чертежи к задачам помещены на схемах, необходимые данные – в таблице «Исходные данные», с. 3336 (кроме вариантов, отмеченных звездочкой, с №№ 14, 15, 18, 19, 20, которые содержат исходные данные в условии задачи). Во всех вариантах рассматривается регулярная прецессия твердого тела.

1. Найти неподвижную точку вращения тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной (инерциальной) и связанной коорди-натных систем. Выбрать оси прецессии , ротации .

2. Определить угловые скорости нутации, прецессии, ротации, мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения . В зависимости от движения твёрдого тела вектор можно найти двумя путями: 1) определением по ее составляющим (2.1); 2) использованием мгновенной оси вращения.

По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положению оси найти величину , где  кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси .

3. Определить угловое ускорение твердого тела. Как известно, , где точка k – конец вектора . В случае регулярной прецессии является закрепленным в точке О векто-ром и определяется по формуле (2.2).

4. Определить скорости произвольных точек твёрдого тела по формуле (2.3).

5. Определить ускорения произвольных точек твёрдого тела. Ускорение любой точки твёрдого тела определить по формуле , где осестремительное ускорение определяется по (2.4), а его величина , вращательное ускорение  по (2.5), его величина

Так как всегда направлено по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Наоборот, следует находить только в векторной форме.

Поскольку при вращении около полюса (в отличие от вращения около неподвижной оси) не коллинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами. Поэтому следует находить после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет определяться по (2.6).

Для точек, лежащих на оси ротации твёрдого тела, справедливы и следующие зависимости:

и ,

где  нормальное ускорение;  касательное ускорение; при регулярной прецессии ;  кратчайшее расстояние от точки, лежащей на оси ротации, до оси прецессии .

Задание выполняется с приведением эскизных чертежей. Величины, приводимые в таблицах «Исходные данные», считаются точными. Все векторы, лежащие в плоскости xOy (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление других векторов должно быть указано в тексте.