Определение радиуса кривизны траектории точки
В том случае, когда движение задано координатным способом, радиус кривизны траектории определяется следующим образом:
по формулам координатного способа задания движения (1.1) определяются скорость и полное ускорение точки:
;
по формулам траекторного способа задания движения (1.2) определяются нормальное и касательное ускорения:
,
и далее радиус кривизны траектории по формуле (1.3):
. (1.4)
Порядок выполнения задания
Движение точки задано кинематическими уравнениями в соответствии с номером варианта задачи (см. таблицу «Исходные данные» с. 10-14).
1. Определить траекторию точки и изобразить ее на чертеже. Указать на ней положение точки в заданные моменты времени, обозначив их М0 и М1 (М0 – в момент времени t = 0; М1 в момент t = t1).
2. Определить алгебраические величины проекций скорости точки в общем виде, а затем для момента времена t = t1. По найденным алгебраическим величинам проекций скорости построить вектор на чертеже и вычислить его величину.
3. Определить алгебраические величины проекций ускорений точки на оси координат в общем виде, а затем для момента времени t = t1. Построить вектор ускорения на чертеже и вычислить его величину.
4. Для
определения касательного ускорения
необходимо иметь проекцию вектора
скорости точки на касательную в виде
функции времени:
,
тогда касательное ускорение точки
опреде-ляется по формуле
.
Определить
для момента време-ни
t = t1
и построить этот вектор на чертеже.
5. Установить
характер движения точки в момент времени
t = t1
(по направлениям векторов
и
).
Если векторы сонаправлены, то движение
точки ускоренное, если они противоположны
по направлению, то – замедленное.
6. Нормальное ускорение точки в момент времени определяется из равенства
,
в котором
каждый из векторов
и
вычислен в этот момент времени. Вектор
построить на чертеже.
7. Радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t1 определить по формуле (1.4).
Исходные данные
№ вар. |
x =x(t) |
y =y(t) |
z =z(t) |
t1, с |
м |
||||
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
№ вар. |
x = x(t) |
y = y(t) |
z = z(t) |
t1, с |
м |
||||
3 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
7 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
№ вар. |
x =x(t) |
y =y(t) |
z =z(t) |
t1, с |
м |
||||
8 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
9 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
10 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
11 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
12 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
№ вар. |
x =x(t) |
y =y(t) |
z =z(t) |
t1, с |
м |
||||
13 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
14 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
15 |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
16 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
17 |
|
|
0 |
20 |
0 |
|
|
|
|
t |
0 |
|
1 |
|
18 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
№ вар. |
x =x(t) |
y =y(t) |
z =z(t) |
t1, с |
м |
||||
19 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
20 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
П р и м е р. Движение
точки задано кинематическими урав-нениями:
;
;
;
,
где x
и y
в м,
а t
в с.
1. Определить
траекторию точки и построить её на
чертеже. Указать на ней положения точки
в заданные моменты времени, обозначить
их
и
(
–
в момент времени
;
–
в момент
с)
pис. 1.4.
Исключив параметр
из уравнений, получим
.
Так как
,
то
это уравнение окруж-ности с радиусом
.
При
Рис. 1.4
При
с,
а
(м),
,
.
;
,
так как
.
2. Для
момента времени
определить и построить на чертеже:
скорость точки :
,
(м/с),
(м/с),
,
модуль вектора скорости.
Направляющие косинусы вектора скорости:
,
,
.
ускорение точки :
,
.
Модуль вектора ускорения точки :
.
Направляющие косинусы вектора ускорения точки:
,
,
.
3. Определить
касательное и нормальное ускорения
точки
,
постоянные
величины;
,
.
Полное ускорение
точки
равно нормальному ускорению, так как
скорость по величине постоянна:
.
4. Определить
характер движения точки: точка
движется по окружности равномерно!
5. Определить
радиус кривизны траектории точки в
момент
:
нормальное ускорение;
отсюда
радиус окружности
траектории точки
.
З А Д А Н И Е К2