Краткие сведения из теории Определение положения точки
1. При векторном
способе задания (рис. 1.1,а)
ее радиусом-вектором как функцией
времени:
кинематическое уравнение движения
точки;
2. При координатном способе задания (рис. 1.1,б) – ее коор-динатами как функциями времени:
(1.1)
кинематические уравнения движения точки в декартовых координатах;
3. При траекторном способе задания (рис. 1.1,в) – ее траекторной координатой (дугой) s, отсчитываемой от выбранного начала отсчета траекторных координат и зависящей от времени:
(1.2)
кинематическое уравнение движения точки в траекторной форме.
Для получения уравнения траектории, по которой движется точка, следует исключить параметр времени t из кинематических уравнений движения точки в координатной форме (1.1). При этом следует установить область изменения координат x,y,z с траектор-ной координатой s:
,
где s0 начальное значение траекторной координаты s.
Определение скорости точки
1. При координатном способе задания движения точки – урав-нение (1.1). Разложение вектора скорости по осям декартовой системы координат имеет вид
,
где
орты осей декартовых координат.
Компоненты вектора скорости представляют собой произ-водные соответствующих координат точки:
.
Абсолютная величина
скорости
.
Направление вектора скорости определяется ее направ-ляющими косинусами:
.
2. При траекторном способе задания движения точки. Известно кинематическое уравнение движения точки в траекторной форме: s = f(t).
Скорость точки в данный момент времени определяется по формуле
или
,
где
орт касательной к траектории в данной
точке, направленной в сторону увеличения
траекторных координат,
алгебраическая величина проекции
скорости на касатель-
ную:
.
Скорость точки
всегда направлена по касательной в
данной точке траектории в сторону
движения точки. Если
> 0,
то точка движется в сторону возрастания
траекторной координаты s,
(рис. 1.2,а),
а при
< 0
в сторону убывания значений s,
(рис. 1.2,б).
Рис. 1.2
Определение ускорения точки
1. При координатном способе задания движения уравнение (1.1). Разложение вектора ускорения точки по осям декартовой системы координат имеет вид
.
Компоненты вектора ускорения представляют собой произ-водные соответствующих компонент вектора скорости или вторые производные соответствующих координат точки:
.
Абсолютная величина
ускорения
.
Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами:
.
2. При траекторном способе задания движения точки уравнение (1.2). Ускорение точки в данный момент времени определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений:
.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Величина нормального ускорения определяется формулой
, (1.3)
где радиус кривизны траектории в данной точке.
Нормальное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории по нормали к траектории, к центру кривизны (рис. 1.3). Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Алгебраическая величина касательного ускорения равна:
.
При ускоренном движении касательное ускорение направлено в сторону скорости (рис. 1.3,а); при замедленном движении в сторону, противоположную направлению скорости (рис. 1.3,б). Абсолютная величина ускорения равна:
.
