0. 2.2 Спектральное представление периодических сигналов

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

,, (2.1)

где Т- период сигнала.

Найдём спектральное разложение такого сигнала.

В соответствии с формулой (1.10) получим спектральное разложение:

(2.2)

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.2) называется рядом Фурье данного сигнала.

Введём понятия основной частоты последовательности, образующей периодический сигнал. Примем интервал разложения отдо. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (1.12) запишем ряд Фурье для периодического сигнала:

(2.3)

с коэффициентами:

(2.4)

В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать её амплитудой и начальной фазой. Для этого коэффициенты ряда Фурье записывают в виде:

, ,

так что:

Подставив эти выражения в (2.3), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:

(2.5)

которая иногда оказывается удобнее.

Изобразим коэффициенты ряда Фурье графически. Такое изображение называется спектральной диаграммой сигнала.

Спектры периодических сигналов являются дискретными. Спектральное разложение можно выполнить также, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

(2.6)

Функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени .

Тогда мы получим показательную форму записи ряда Фурье:

(2.7)

(2.8)

Выражение (2.7) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.8) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём . Слагаемые в ряде (2.7) с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары.

Отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

0. 2.3 Спектральное представление непериодических сигналов

Для спектрального представления непериодических сигналов вводится понятие спектральной плотности.

Спектральная плотность – это комплексно-значная функция частоты, одновременно несущая информацию, как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид.

Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

(2.9)

(2.10)

Поскольку для представления спектров непериодических сигналов используются интегральные преобразования Фурье, эти спектры сплошные.

Спектральная плотность может быть представлена в виде:

Вещественная часть спектральной плотности есть чётная функция частоты:

Мнимая часть спектральной плотности есть нечётная функция частоты:

Если записать спектральную плотность в показательной форме, то можно выделить её модуль и аргумент:

Модуль спектральной плотности называется амплитудным спектром сигнала:

а аргумент спектральной плотности – фазовым спектром сигнала.

Пара преобразований Фурье имеет фундаментальное значение в теории электросвязи, так как многие характеристики сигналов связаны между собой этими преобразованиями.

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.