Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов

4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр

Пусть имеется два вещественных сигнала U(t) и V(t). Назовём взаимным энергетическим спектром двух вещественных сигналов функцию (4.1)

такую что:

(4.2)

причём:

(4.3)

Взаимный энергетический спектр - функция, принимающая в общем случае, комплексные значения:

(4.4)

где - чётная, анечётная функция частоты. Вклад в интеграл даёт только вещественная часть, поэтому:

(4.5)

Последняя формула даёт возможность проанализировать взаимосвязь сигналов. Более того формула (4.5) указывает путь, позволяющий уменьшить связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов нужно подвергнуть обработке частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость к-та передачи такого сигнала ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот.

Если в формуле (4.1) сигналы U(t) и V(t) считать одинаковыми то эта формула приобретает вид:

(4.6)

Величина носит название спектральной плотности энергии сигналаU(t) или, короче, его энергетического спектра. Формула равенства Парсеваля при этом запишется так:

(4.7)

Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. Однако, изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключается в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (4.6) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от её фазы. Однако понятие энергетического спектра широко применяется для инженерных оценок, устанавливающих ширину спектра сигнала и копи:

4.2. Автокорреляционная функция сигналов

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала U(t) и его смещённой во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигналаU(t), равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

(4.8)

Свойства АКФ

1) При автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

(4.9)

2) АКФ – функция чётна

(4.10)

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

Например:

АКФ прямоугольного видеоимпульса

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время T.

АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.8) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символомобозначена смещённая во времени копия сигнала.

Обратившись к теореме Планшереля – можно записать равенство:

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда. Таким образом приходим к результату

(4.12)

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно что имеется и обратное соотношение

(4.13)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.12), (4.13) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Часто вводят удодный числовой параметр – интервал корреляции , представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ.

Например:

В данном случае:

Отсюда: (4.14)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. (Чем шире полоса частот сигнала тем уже основной лепесток АКФ.)