1.3 Основы теории ортогональных сигналов

Введём понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение вещественных сигналов u и v:

(1.6)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где - вещественное число

4. 

5. - справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное Гильбертово пространство.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

(1.7)

Два сигнала иназывают ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

(1.8)

Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

1, если(1.9)

0, если

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

(1.10)

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигналав выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером, умножим на неё обе части равенства (1.10) и затем проинтегрируем результаты по времени:

(1.11)

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.11) останется только член суммы с номером , поэтому:

(1.12)

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

(1.13)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.13) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат, который называется равенством Парсеваля:

(1.14)

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.

Раздел 2. Спектральные представления сигналов

2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов обусловлено рядом причин:

1. Гармонические сигналы инварианты относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остаётся гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительна проста. Будем использовать гармонические сигналы в качестве ортонормированного базиса.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, т.е. разложен по частоте, то говорят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Совокупность значений амплитуд и фаз гармонических компонент на различных частотах называется спектром сигнала.