- •Системы электрической связи. Общие сведения о системах электросвязи. Основные понятия и определения
- •Часть 1
- •Раздел 1. Элементы общей теории сигналов
- •1.1 Классификация сигналов
- •1.2. Некоторые элементы функционального анализа сигналов
- •1.3 Основы теории ортогональных сигналов
- •Раздел 2. Спектральные представления сигналов
- •2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов
- •2.2 Спектральное представление периодических сигналов
- •2.3 Спектральное представление непериодических сигналов
- •2.4 Теоремы о спектрах
- •2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций
- •Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром
- •3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром
- •3.2 Теорема Котельникова
- •3.3. Узкополосные сигналы
- •3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр
- •4.2. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.3. Акф дискретного сигнала
- •4.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Модулированные сигналы
- •5.1. Сигналы с амплитудной модуляцией
- •5.2 Сигналы с угловой модуляцией
- •5.3. Дискретные формы угловой модуляции
- •5.4 Сигналы с импульсной модуляцией
- •Раздел 6. Основы теории случайных процессов
- •6.1. Случайные процессы. Основные понятия и определения
- •6.2. Характеристики случайных процессов
- •6.3. Моментные функции случайных процессов
- •6.4. Свойства случайных процессов
- •6.5. Функция корреляции двух случайных процессов
- •6.6. Измерение характеристик случайных процессов
- •6.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •6.8 Типовые модели случайных сигналов
- •6.9 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 7. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •7.1. Дискретное преобразование Фурье
- •7.2. Быстрое преобразование Фурье
- •7.3 Z-преобразование
- •Раздел 1.Каналы электросвязи
- •Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация
- •1.2 Математические модели каналов электросвязи
- •1.2.1 Математические модели непрерывных каналов связи
- •1.2.2 Математические модели дискретных каналов связи
- •Раздел 2 Основные положения теории передачи информации
- •2.1 Информационные параметры сообщений и сигналов
- •2.2 Взаимная информация
- •Эффективное кодирование дискретных сообщений
- •Тема 2.4. Информация в непрерывных сигналах
- •Тема 2.5. Пропускная способность канала связи
- •Тема 2.6. Теорема к. Шеннона
- •Тема 2.7. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 3. Оптимальный приём дискретных сообщений
- •Тема 3.1. Постановка задачи оптимального приёма дискретных сообщений как статистической задачи. Понятие помехоустойчивости
- •3.2. Элементы теории решений
- •3.3. Критерии качества оптимального приёмника
- •3.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
- •3.5 Структурное построение оптимального приёмника
- •3.6 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •3.8 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •3.9 Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)
1.2.2 Математические модели дискретных каналов связи
В дискретном канале всегда содержится непрерывный канал, а также модем. Последний можно рассматривать как устройство, преобразующее непрерывный канал в дискретный. Поэтому, в принципе можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала и модема. Такой подход часто является плодотворным, однако он приводит к сложным моделям.
Рассмотрим простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Для модели дискретного канала входным и выходным сигналами являются последовательности кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число m различных символов, из которых формируется последовательность (основание кода), а также длительность передачи каждого символа. Будем считать значение одинаковым для всех символов, что выполняется в большинстве современных каналов. Величина определяется количеством символов, передаваемых в единицу времени. Она называется технической скоростью и измеряется в бодах. Каждый символ, поступивший на вход канала, вызывается появление одного символа на выходе, так что техническая скорость на входе и выходе канала одинакова.
При подаче на вход канала любой заданной последовательности кодовых символов, на выходе появится некоторая реализация случайной последовательности . Кодовые символы обозначим числами от 0 доm-1.
Введем еще одно определение. Будем называть вектором ошибки поразрядную разность (разумеется, по модулю m) между принятой и переданной кодовыми последовательностями (векторами)). Это значит, что прохождение дискретного сигнала через канал можно рассматривать как сложение входного вектора с вектором ошибки. Вектор ошибки играет в дискретном канале примерно ту же роль, что и помеха в непрерывном канале. Таким образом, для любой модели дискретного канала можно записать, пользуясь сложением в векторном пространстве (поразрядным, по модулю m):
(1.4)
где и - случайные последовательности из n символов на входе и выходе канала; -случайный вектор ошибки. Различные модели отличаются распределением вероятностей вектора . Смысл вектора ошибки особенно прост в случае двоичных каналов (m=2), тогда его компоненты принимают значение 0 и 1. Всякая единица в векторе ошибок означает, что в соответствующем месте передаваемой последовательности символ принят ошибочно, а всякий нуль означает безошибочный приём символа. Число ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом.
Перечислим наиболее важные и достаточно простые модели дискретных каналов
1) Симметричный канал без памяти определяется как дискретный канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью p и правильно с вероятностью 1-p, причем в случай ошибки вместо переданного символа в может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероятность того, что принят символ , если был передан
(1.5)
Термин «без памяти» означает, что вероятность ошибочного приема символа не зависит от предыстории, т.е. от того, какие символы передавались до него и как они были приняты.
Очевидно, что вероятность любого n – мерного вектора ошибки в таком канале
, (1.6)
где -число ненулевых символов в векторе ошибки (вес вектора ошибки). Вероятность того, что произошлокаких угодно ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длинноq n, определяется формулой Бернулли:
(1.7)
где -биномиальный коэффициент, равный числу различных сочетаний l ошибок в блоке длиной n.
Эту модель называют также биноминальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, возникающий при определенном выборе модема, если в непрерывном канале, отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый (или, по крайней мере, квазибелый). Вероятности переходов показаны в виде графа на рис. а:
2) симметричный канал без памяти со стиранием отличается от предыдущего тем, что алфавит на выходе канала содержит, дополнительный (m+1)-u символ, обозначаемый знаком «?».
Этот символ появляется тогда, когда 1-я решающая схема (демодулятор) не может надежно опознать переданный символ. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа в данной модели постоянна и не зависит от передаваемого символа. За счет введения стирания удается значительно снизить вероятность ошибки, иногда ее даже считают равной нулю. На рис. б) схематически показаны вероятности переходов в такой модели.
3) Несимметричный канал без памяти характеризуется, как и предыдущие модели, тем, что ошибки возникают в нем независимо друг от друга, однако вероятности ошибок зависят от того, какой символ передается. Так, в двоичном несимметричном канале вероятность р (1/0) приема символа «1» при передаче символа «0» не равна вероятности р (0/1) приема «0» при передаче»1» (рис. в)).
4) Марковский канал представляет собой простейшую модель дискретного канала с памятью. В ней вероятность ошибки образует простую цепь Маркова, т.е. зависит от того, правильно или ошибочно принят предыдущий символ, но не зависит от того, какой символ передается. Такой канал, например, возникает, если в непрерывном канале с гауссовским шумом используется ОФМ.
5) Канал с аддитивным дискретным шумом. Является обобщением моделей симметричных каналов. В такой модели вероятность вектора ошибки не зависит от передаваемой последовательности. Вероятность, каждого вектора ошибки считается заданной. Имеется тенденция к тому, что в векторе ошибки единицы расположены близко друг к другу, то есть группированию ошибок.