- •Системы электрической связи. Общие сведения о системах электросвязи. Основные понятия и определения
- •Часть 1
- •Раздел 1. Элементы общей теории сигналов
- •1.1 Классификация сигналов
- •1.2. Некоторые элементы функционального анализа сигналов
- •1.3 Основы теории ортогональных сигналов
- •Раздел 2. Спектральные представления сигналов
- •2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов
- •2.2 Спектральное представление периодических сигналов
- •2.3 Спектральное представление непериодических сигналов
- •2.4 Теоремы о спектрах
- •2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций
- •Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром
- •3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром
- •3.2 Теорема Котельникова
- •3.3. Узкополосные сигналы
- •3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр
- •4.2. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.3. Акф дискретного сигнала
- •4.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Модулированные сигналы
- •5.1. Сигналы с амплитудной модуляцией
- •5.2 Сигналы с угловой модуляцией
- •5.3. Дискретные формы угловой модуляции
- •5.4 Сигналы с импульсной модуляцией
- •Раздел 6. Основы теории случайных процессов
- •6.1. Случайные процессы. Основные понятия и определения
- •6.2. Характеристики случайных процессов
- •6.3. Моментные функции случайных процессов
- •6.4. Свойства случайных процессов
- •6.5. Функция корреляции двух случайных процессов
- •6.6. Измерение характеристик случайных процессов
- •6.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •6.8 Типовые модели случайных сигналов
- •6.9 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 7. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •7.1. Дискретное преобразование Фурье
- •7.2. Быстрое преобразование Фурье
- •7.3 Z-преобразование
- •Раздел 1.Каналы электросвязи
- •Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация
- •1.2 Математические модели каналов электросвязи
- •1.2.1 Математические модели непрерывных каналов связи
- •1.2.2 Математические модели дискретных каналов связи
- •Раздел 2 Основные положения теории передачи информации
- •2.1 Информационные параметры сообщений и сигналов
- •2.2 Взаимная информация
- •Эффективное кодирование дискретных сообщений
- •Тема 2.4. Информация в непрерывных сигналах
- •Тема 2.5. Пропускная способность канала связи
- •Тема 2.6. Теорема к. Шеннона
- •Тема 2.7. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 3. Оптимальный приём дискретных сообщений
- •Тема 3.1. Постановка задачи оптимального приёма дискретных сообщений как статистической задачи. Понятие помехоустойчивости
- •3.2. Элементы теории решений
- •3.3. Критерии качества оптимального приёмника
- •3.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
- •3.5 Структурное построение оптимального приёмника
- •3.6 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •3.8 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •3.9 Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)
5.2 Сигналы с угловой модуляцией
Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счёт того, что в несущем гармоническом колебании передаваемое сообщениеизменяет либо частоту, либо начальную фазу; амплитудаостаётся неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания, называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.
Виды угловой модуляции.
Предположим, что полная фаза связана с сигналомзависимостью:
(5.20)
Где – значение частоты в отсутствие полезного сигнала;k - некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (5.20) называются фазовой модуляцией (ФМ):
(5.21)
Если сигнал S(t)=0, то ФМ – колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значения сигнала S(t) полная фаза растёт во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роставо времени.
В моменты времени, когда сигнал S (t)достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называется девиацией фазы . В общем случае, когда сигналS(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх и девиацию фазы вниз. Мгновенная частотасигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени:
(5.22)
При частотной модуляции сигнала (414) между величинами S(t) и имеется связь вида:
(5.23)
Поэтому:
(5.24)
Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (5.23) являются девиация частоты вверх и девиация частоты вниз.
Однотональные сигналы с угловой модуляцией.
Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому мы будем рассматривать простейшие однотональные сигналы.
В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота:
,
где - девиация частоты сигнала.
На основании формулы (5.22) полная фаза такого сигнала
,
где – некоторый постоянный фазовый угол.
Величина
(5.25)
называется индексом однотональной угловой модуляции.
Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы , и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде:
(5.26)
Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала, кроме того при ФМ , а при ЧМ.
Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции.
Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда . Для этого преобразуем формулу (5.26) следующим образом:
(5.27)
Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближёнными равенствами:
На основании этого из равенства (5.27) получаем:
(5.28)
Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией, содержатся несущие колебания и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах. Индексm играет здесь такую же роль как коэффициент М при АМ. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.
Спектральная диаграмма сигнала с угловой модуляцией при .
Для спектральной диаграммы, построенной по формуле (5.28) характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180 градусов. При значениях m=0.5-1 появляется вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами , затем третья пара и так далее. Возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру.
С ростом m амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается.
Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса m.
Для простейшего случая однотонального ЧМ- и ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.
Математическая модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:
(5.29)
(m) – функция Бесселя k- того порядка от аргумента m.
Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны ; амплитуды этих составляющих пропорциональные значениям.
В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой соотношением:
Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами совпадают, еслиk- чётное число, и отличаются на 180 градусов, если k- нечётное. С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами . Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией.
(5.30)
Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае
(5.31)
Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.
Для передачи АМ-сигнала требуется полоса частот, равная , то есть вm раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обуславливает их гораздо более высокую помехоустойчивость по сравнению с АМ-сигналами.
Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в относительном масштабе).
Угловая модуляция при негармоническом модулирующем сигнале.
Интересная особенность колебаний с угловой модуляцией проявляется в случае, когда модулирующий сигнал не является гармоническим. Рассмотрим, для простоты сигнал, промодулированный лишь двумя низкими частотами:
(5.32)
Положим, что парциальные индексы модуляции малы настолько, что можно пользоваться приближёнными выражениями для косинуса и синуса:.
Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы:
(5.33)
Следует обратить внимание на то, что в спектре рассматриваемого сигнала, помимо частот , присутствуют так называемые комбинационные частотыс четырьмя возможными знаками. Амплитуды этих составляющих зависят от произведения парциальных индексов модуляции.
Спектральная диаграмма сигнала с двухтональной угловой модуляцией при малых значениях парциальных индексов модуляции .
Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колебаний с частотами и парциальными индексамисоответственно, спектральное представление сигнала таково:
(5.34)
Таким образом, при прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, называют модуляцией нелинейного типа.