Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория электрической связи

Файл:

ТЭС

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

382.44 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Вариант 5

Задача 1

1.Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье

втригонометрической форме.

2.Вычислите спектральные коэффициенты для сигнала, приведенного на рис. 1.

Интервал разложения равен [-τ/2; τ/2]. Число спектральных коэффициентов n = 5.

u(t), В

																t, мc
	18				12			6	0		6	12			18
	18				12			6	0		6	12			18
					Рисунок 1. Периодический сигнал
Исходные данные:
длительность импульса τ=12 мс,													æ pt ö
													æ pt ö		,
аналитическое выражение для сигнала на рис. 1: u(t) = Am cosç														÷	,
												è		t ø
амплитуда сигнала		Am	=	mn		+ 0.5p =		5	+ 0.5 = 3.0	(В).
амплитуда сигнала		Am	=			+ 0.5p =	2		+ 0.5 = 3.0	(В).
			2				2

Решение.

1. Любую периодическую функцию u(t)=u(t+nT), удовлетворяющую в пределах периода условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:

	a0	∞
u(t) =		+ å(an cos nω1t + bn sin nω1t),	(1)

2		n=1

где

								2		2/ T
a	n	= U	mn	cosy		n	=			u(t)×cos nw t dt;
a		= U		cosy			=			u(t)×cos nw t dt;
										1
									T −2ò/ T
								2		2/T
b	n	= U	mn	sin y	n		=			u(t)×sin nw t dt,
b		= U		sin y			=			u(t)×sin nw t dt,
								T		1
								T		−2ò/T

В выражениях (1) и (2)

T – период сигнала (здесь Т=τ),

w1 = 2Tp - частота первой гармоники,

n – номер гармоники.

Ряд (1) можно записать в другой форме:

∞

u(t) = U0 + åUmnсos(nw1t - yn ) .

n=1

(2)

(3)

Отдельные составляющие этой функции называют гармониками. Коэффициенты ряда определяют по следующим формулам:

Umn =a2n +b2n - амплитуды гармоник;

ψn = arctgbn - начальные фазы гармоник. an

Величина U0 называется постоянной составляющей. значению функции за период:

	a	0		1	T / 2	1	τ / 2
U0 =			=		u(t)dt =		u(t)dt .
	2
				T −Tò/ 2		t	−τò/ 2

(4)

(5)

Она равна среднему

(6)

Зависимость амплитуд гармоник от частоты ω или от номера гармоник n называют амплитудным спектром (АС) сигнала. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты или от номера гармоник называют фазовым спектром (ФС) сигнала. АС и ФС периодических сигналов – дискретные.

2. Определим частоту первой гармоники. Она равна частоте повторения импульсов:

		2p			2p	æ	рад ö
w1	=		=			= 524 ç	÷.
w1	=	T	=	12	×10−3	= 524 ç	÷.
		T		12	×10−3	è	с ø

Определим постоянную составляющую по формуле (6):

T/ 2

τ/ 2

æ pt ö

æpt ö

τ/ 2

æ pö

pöù

U0 =

òu(t)dt =

cosç

÷dt =

sinç

êsinç

-sinç

÷ú

T T/2

/ 2

t ø

p ë

2ø

2øû

−

−τ

−τ/ 2

= 2Apm = 2p×3 =1.91 (В).

По формулам (2) определим коэффициенты an и bn :

2A	m	æ pö		=
		sinç	÷
p
	è		2ø

2 / T

2/ τ

æ pt ö

= Umn cosfn

òu(t) ×cos nw1t dt =

ò cosç

÷ ×cos nw1t dt.

−2 / T

−2/ τ

Применим формулу cosa ×cosb =

[cos(a - b)+ cos(a + b)]. Тогда

2/ τ

æ pt ö

2/ τ é

æ p

ö ù

cosç

×cos nw1t dt =

êcosç

- nw1 ÷t

+ cosç

+ nw1

÷túdt

−2/ τ

−2/ τ ë

è t

ø û

æ p

τ / 2

æ p

τ / 2

sinç

- nw1 ÷t

sinç

+ nw1

÷t

æ p

è t

Tç

- nw1

−τ

/ 2 Tç

+ nw1

−τ / 2

è t

æ p

nw t ö

nw t

öù

sinç

- sinç

æ p

- nw

Tç

øû

è t

æ p

nw t ö

p nw t

öù

sinç

- sinç

÷ú

æ p

è 2

2 ø

+ nw1

2 øû

Tç

è t

æ p

nw t

æ p

nw t ö

sinç

÷ +

sinç

1 ÷

æ p

- nw1

è 2

2 ø

+ nw1

è 2

2 ø

Tç

è t

é p

+ nw1 +

- nw1

æ nw t ö

ç n

t ÷

ú cosç

æ p

2p ö2

öú

2 ø

æ p ö

2 ÷

- nw1

÷ ç

+ nw1 ÷ú

ç ÷

- ç n

è t

øû

è t ø

2 p

2Am

4Am

ù cos(np)=

ú cos(np)=

T ê

æ p

2p ö

ëp - 4n

pû

- ç n

è t

T ø

é 4Am

n+1

ëê

p(1- 4n2 )

ûú(-1)

ëê

p(4n2 -1)

ûú(-1)

2 2/ T

2/ τ

æ pt ö

= Umn sin fn

òu(t) × sin nw1t dt =

cosç

÷ × sin nw1t dt.

T −2/ T

−2/ τ

è t

Применим формулу cosa × sinb =

1 [sin(a + b)- sin(a - b)]. Тогда

2/ τ

æ pt ö

2/ τ

æ p

ö ù

cosç

× sin nw1t dt =

êsinç

+ nw1 ÷t - sinç

- nw1

÷túdt =

−2/ τ

t ø

−2/ τ

è t

ø û

æ p

τ/ 2

æ p

τ/ 2

= -

cosç

+ nw1

÷t

cosç

- nw1

÷t

æ p

è t

Tç

+ nw1

−τ/ 2

Tç

- nw1 ÷

−τ/ 2

è t

æ p

nw t ö

nw t öù

= -

êcosç

÷ - cosç-

÷ú +

æ p

+ nw1

è 2

2 ø

2 øû

Tç

è t

æ p

nw t ö

nw t

öù

êcosç

- cosç-

÷ú = 0.

æ p

- nw1

ö ë

è 2

øû

Tç

è t

По формуле (4) определим амплитуды гармоник входного сигнала. Рассчитанные значения для 5-ти гармоник запишем в таблицу 1.

Таблица 1

n		0	1	2	3	4	5
ω, рад/с		0	524	1047	1571	2094	2618
f,	Гц	0	83.3	166.7	250	333.3	416.7
an,	мВ	0	1273.2	-254.6	109.1	-60.6	38.6
bn, мВ		0	0	0	0	0	0
Umn,мВ		1909.9	1273.2	254.6	109.1	60.6	38.6

Теперь по значениям таблицы 1 построим график АС сигнала (рисунок 2). Umn, мB

2000

1500

1000

500



0	100	200	300	400	500 f, Гц

Рисунок 2. Амплитудно-частотный спектр сигнала

	Задача 2
1. Для сигнала u(t) = Am cosω0 t с параметрами:
циклическая частота	f0=35 кГц,
амплитуда	Am = mn + 0.5p =	5 + 0.5 = 3.0 (В)
	2	2

найти спектральную плотность и амплитудный спектр сигнала. 2. Построить временную и спектральную диаграммы сигнала.

Решение.

1. Для разложения в спектр непериодического сигнала используется прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье)

+∞
F(jω) = òu(t)e−jωt dt,	(7)

−∞

где u(t)- функция, описывающая сигнал.

Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции u(t) является её абсолютная интегрируемость:

+∞

òu(t)dt < ∞.

−∞

Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, гармоническое колебание, заданное при -∞<t<∞, не отвечает выше приведённому условию.

Рассмотрим заданный сигнал u(t) = Am cosω0 t . Не обращая на то, что такой

сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (7)

+∞

F(jω) =

òu(t)e−jωtdt = òAm cosω0te−jωtdt = Am òcosω0te−jωtdt.

−∞

ejω0t

−∞

Воспользуемся формулой cosω0t =

+ e− jω0t

. Имеем

+∞

jω0t

−jω0t

+∞

F(jω) = Am òcosω0te−jωtdt = Am ò e

e−jωtdt =

ò(ejω0t +e−jω0t )e−jωtdt =

−∞

+∞

A +∞

òe−j(ω−ω0 )tdt+

òe−j(ω+ω0 )tdt.

−∞

2 −∞

Известно, что

+∞

1 +∞

δ(ω − ω ) =

e− j(ω−ω0 )tdt =

ej(ω−ω0 )tdt .

2π −ò∞

Тогда

+∞

F(jω) =

òe−j(ω−ω0 )tdt+

òe−j(ω+ω0 )tdt = Amπ[δ(ω−ω0 )+δ(ω+ω0 )].

2 −∞

Подставим исходные данные. Для этого рассчитаем частоту

w0 = 2pf0 = 2p×35×10	3	= 2.20	×10	5	æ	рад ö
					ç		÷.
						с
					è		ø

Тогда выражение для спектральной плотности имеет вид


F( jω) = 9.43[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )],		В		(8)
	Гц
или модуль спектральной плотности
		В
F(ω) = 9.43[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]			.	(9)

		Гц

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме ω=ω0 и ω=-ω0, при которых F(ω) обращается в бесконечность. Гармоническому колебанию с конечной амплитудой

соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ω=ω0 и ω=-ω0.

3. Построим временную и спектральную диаграммы сигнала.

Выражение для сигнала имеет вид u(t) = Am cosw0t = 3.0cos2.20 ×105 t .

Временная диаграмма сигнала представлена на рисунке 4. u(t), B

	3
	2
	1
20	0	20	40	60	80	100	t, мкc
	1
	2
	3
	Рисунок 4. Временная диаграмма сигнала u(t)

Спектральная диаграмма сигнала, рассчитанная по формуле (9), представлена на рисунке 5.

	F(ω), В/Гц
9.43δ(ω + ω0 )		9.43δ(ω − ω0 )
	0.8
	0.8

0.6

			0.4
			0.2
300	200	100	0	100	200	300 ω*103, рад/с

Рисунок 5. Спектр сигнала u(t)

Задача 3

1.Дайте определение автокорреляционной функции (АКФ) сигнала и запишите формулу для её расчета.

2.Для заданного сигнала u(t) (рис. 6) с параметрами:

длительность импульса			τи=2.0				мс,
амплитуда	Am	=	mn	−	p	=		5	−	1	= 2.25 (В).
							2			4
		2		4

определить АКФ аналитическим и графическим способами. u(t), B

					t, мc
1	0.5	0	0.5	1	t, мc
1	0.5	0	0.5	1

Рисунок 6. Сигнал u(t)

Решение.

1. Автокорреляционной функцией сигнала называется скалярное произведение сигнала на его сдвинутую копию. Для детерминированного сигнала конечной

длительности АКФ определяется следующим выражением

Ru (τ) = ò−∞∞ u(t)u* (t + τ)dt ,

где τ – временной сдвиг сигнала.

Для сигналов, являющихся вещественными функциями времени, обозначение

комплексного сопряжения можно опустить

Ru (τ) = ò−∞∞ u(t)u(t + τ)dt .

(10)

Из выражения (10) видно, что Ru(τ) характеризует степень связи (корреляции) сигнала u(t) со своей копией, сдвинутой на величину τ по оси времени. Ясно, что функция Ru(τ) достигает максимума при τ=0, так как любой сигнал полностью коррелирован с сами собой. При этом

Ru (τ) = ò−∞∞ u2 (t) = Е ,

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

С увеличением τ функция Ru(τ) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов u(t) и u(t+τ) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.

Автокорреляционная функция сигнала является четной функцией. Эта функция

сигнала связана с энергетическим спектром сигнала парой преобразований Фурье.

Автокорреляционная функция сигнала с неограниченной энергией связана преобразованиями Фурье со спектральной плотностью мощности и ее максимальное значение определяется не энергией, а средней мощностью сигнала. Неограниченную энергию имеют периодические сигналы, неограниченные во времени.

2. Определим АКФ аналитически.

Требуется рассмотреть одиночный прямоугольный видеоимпульс. Запишем аналитическое выражение для заданного сигнала:

ìA		,	при - t		/ 2 < t < t		/ 2;
u(t) = í	m			и		и
î0,			при - tи		/ 2 > t > tи / 2.

Теперь запишем выражение для сдвинутого влево по оси времени сигнала u(t+τ)

ìA		,	при - t		/ 2 - t < t < t		/ 2 - t;
u(t + t) = í	m			и		и
î0,			при - tи		/ 2 - t > t > tи / 2 - t.

Для расчёта АКФ аналитическим способом используем выражение (10)

	(τ) = ò∞	u(t)u(t + τ)dt = Am2	τи / 2−τ
Ru	(τ) = ò∞	u(t)u(t + τ)dt = Am2	òdt.
	−∞		−τи / 2
			−τи / 2

Верхний предел учитывает сдвиг начала сигнала.

Тогда

τи / 2−τ

Ru (τ) = A2m òdt = A2m (τи / 2 − τ + τи / 2)= A2m (τи − τ).

−τи / 2

Данное выражение получено для τ>0. Для сдвига τ<0 аналогично может быть

получено выражение

Ru (τ) = A2m (τи + τ).

Объединяя полученные выражения, АКФ заданного сигнала описывается

выражением

Ru (τ) = A2m (τи − τ ).

Сдвинутый на τ (в сторону опережения) импульс u(t+τ) показан на рисунке 7, б. Произведение u(t)u(t+τ) показано на рисунке 7, в.

При увеличении сдвига τ произведение u(t)u(t+τ) будет уменьшаться и при τ=τи u(t)u(t+τи)=0. При этом площадь закрашенного треугольника равна нулю. Очевидно, что уменьшение u(t)u(t+τ) будет проходить линейно. При дальнейшем увеличении τ АКФ всегда будет равна нулю.

В случае отрицательного τ (сдвиг в сторону запаздывания) алгоритм построения аналогичен. Это показывает, что АКФ Ru (τ) – чётная функция.

АКФ сигнала изображена ни рисунке 7, г.

	u(t)
	Am
a)	и
a)
	0	t
		t
	u(t+ )
б)
	0	t
	u(t)u(t+ )	t
	u(t)u(t+ )
в)
0	И	t
0	И
	Ru( )
	ИAm2(t)
г)
И	0	И
И
	Рис. 7. Построение АКФ сигнала u(t)

Максимальное значение максимума равно энергии импульса:

						æ	В	2	ö
R	u	(0) = t	и	А2	= 2×10−3 ×2.252 = 10.1×10−3	ç	В		÷ .
R		(0) = t		А2	= 2×10−3 ×2.252 = 10.1×10−3	ç			÷ .
				m		ç			÷
						è	Гц ø

Задача 4

1.Приведите формулу для определения энергии.

2.Определите энергию сигнала

ìA

при - t

/ 2

< t < t

/ 2;

u(t) = í

î0,

при - tи / 2

> t > tи / 2.

амплитуда

Am =

- p =

-1= 1.5 (В),

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория электрической связи

#
04.04.20149 Mб117metodicheskoe-posobie-po-tyes-chyornaya-i.i..doc
#
01.04.2014249.32 Кб34тэс(1).docx
#
01.04.2014378.03 Кб39ТЭС.docx
#
01.04.2014382.44 Кб32ТЭС.pdf