ТВиМС. Пример контрольной работы

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет заочного и дистанционного обучения Кафедра вычислительных методов и программирования

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Проверил: Волковец Александр Иванович

Выполнил: студент группы (дистанционная форма обучения) Wasja

Минск 2009

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

1 Задача 1.24

1.1 Условие

На плоскости проведены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 8 см. Определить вероятность того, что наугад брошенный на эту плоскость круг радиусом 3 см не будет пересечен ни одной линией.

1.2 Решение

Часть плоскости, соответствующей условию задачи, выглядит следующим образом:

Рисунок 1.1 – Плоскость

При попадании диска в заштрихованную область диск будет пересекаться линией. Вероятность этого события равна:

P( A) = (6 + 6)(8 + 8) = 3 / 4

Тогда вероятность того, что диск не будет пересекаться линией:

P( A) = 1 − P( A) = 1 − 3 / 4 = 1/ 4

2 Задача 2.14

2.1 Условие

На рисунке 2.1 приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

4

3 2.14

1 2

Рисунок 2.1 – Схема соединения

2.2 Решение

Пусть Аi – событие отказа i-го элемента, тогда:

P( A1 ) = p1 = 0,1 ; P( A2 ) = p2 = 0,2 ; P( A3 ) = p3 = 0,3 ; P( A4 ) = p4 = 0,4

При последовательном подключении отказ цепи происходит при отказе хотя бы одного из элементов. Следовательно, часть схемы, состоящая из элементов 1 и 2, выйдет из строя с вероятностью:

P( A1 + A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) - P( A1 × A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) - P( A1 ) × P( A2 ) = 0,1 + 0,2 - 0,1× 0,2 = 0,28

При параллельном подключении отказ цепи происходит при одновременном отказе всех элементов. Следовательно, вероятность отказа заданной схемы составит:

P( A) = P(( A1 + A2 ) × A3 × A4 ) = P( A1 + A2 ) × P( A3 ) × P( A4 ) = 0,28 × 0,3 × 0,4 = 0,0336

Тогда вероятность работоспособности схемы составит:

P( A) = 1 - P( A) = 1 - 0,0336 = 0,9664

3 Задача 3.3

3.1 Условие

Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3 , для второго - 0,5 , для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

3.2 Решение

Пусть событие А – два промаха мимо мишени; H1 – два выстрела первого стрелка; H2 – два выстрела второго стрелка; H3 – два выстрела третьего стрелка.

Тогда с учетом условия:

−вероятность двух промахов первого стрелка:

P( A / H1 ) = (1 - 0,3) × (1 - 0,3) = 0,49 ;

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

−вероятность двух промахов второго стрелка:

P( A / H 2 ) = (1 - 0,5) × (1 - 0,5) = 0,25 ;

−вероятность двух промахов третьего стрелка:

P( A / H 3 ) = (1 - 0,8) × (1 - 0,8) = 0,04

Вероятность вызова стрелков равна:

P(H1 ) = P(H 2 ) = P(H 3 ) = 1/ 3

Тогда, поскольку события независимы, по формуле Бейеса вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком:

4 Задача 4.24

4.1 Условие

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы пять попаданий в мишень.

4.2 Решение

Поскольку каждый выстрел производится независимо от других, то вероятность можно определить по формуле Бернулли.

Тогда, учитывая, что вероятность попадания (p) при выстреле равна 0,4, а вероятность промаха (q) – 0,6:

−вероятность пяти попаданий:

−вероятность шести попаданий:

−вероятность хотя бы пяти попаданий:

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

P = P5 (6) + P6 (6) = 0,036864 + 0,004096 = 0,04096

5 Задача 5.28

5.1 Условие

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таблице). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

5.2 Решение Математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

N

M [ X ] = ∑ xi × pi = 1× 0,6 + 4 × 0,1 + 5 ×0,1+ 7 × 0,05 + 8 × 0,15 = 3,05

i=1

Дисперсия дискретной случайной величины Х:

N

D[ X ] = ∑ xi2 × pi - M 2 [ X ] = 12 × 0,6 + 42 × 0,1 + 52 × 0,1 + 72 × 0,05 + 82 × 0,15 - 3,052 =

i=1

= 16,750 - 9,3025 = 7,4475

Функция дискретной величины Х есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:

F (x) = ∑ p( X = xi )

xi < x

Тогда, исходя из задания:

График функции распределения будет иметь следующий вид:

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

Рисунок 5.1 – График функции распределения

6 Задача 6.1

6.1 Условие

Случайная величина Х задана плотностью вероятности (параметры приведены в таблице):

0, x < a, x > b,

f (x) = ϕ(x, c), a £ x £ b

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [α ,β ] .

6.2 Решение

В соответствии с заданием:

Тогда функция плотности вероятности примет вид:

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

Математическое ожидание случайной величины Х:

Функция распределения случайной величины выражается через ее плот-

ность:

−в общем виде:

x

F (x) = ∫ f ( y) × dy

−∞

−на интервале (-∞; 1):

x

F (x) = ∫0 × dy = 0

−∞

− на интервале [1; 2]:

− на интервале (2; ∞):

F (x) = ∫0 × dy + ∫(2 × y / 3) × dy + ∫0 × dy = 1

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [0,5; 1,5] равна:

http://do.ucoz.net

Так как функция Y = sin(3×x) дифференцируема и строго убывает, то применима формула:

g ( y ) = f [ψ ( y )]× ψ ¢( y ) ,

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

где ψ(y) – функция, обратная заданной функции Y:

ψ ( y ) = arcsin( y ) / 3

Тогда, можно определить производную ψ’(y):

ψ '( y ) = (arcsin( y ))'×13 = 1 /(3 × 1 - y 2 )

Интервалу плотности распределения [π/6; π/3] соответствует интервал обратной функции [0; 1]. На этом интервале функция распределения принимает значение f ( x) = 6 / π , поэтому и f [ψ ( y )] = 6 / π . С учетом этого:

g ( y ) = (6 / π ) × (1 /(3 × 1 - y 2 )) = 2 /(π × 1 - y 2 )

Следовательно, плотность вероятности будет равна:

8 Задача 8.7

8.1 Условие Двухмерный случайный вектор (Х,У) равномерно распределен внутри вы-

деленной жирными прямыми линиями на рисунке 8.1 области B (конкретные параметры приведены в таблице).

y

y2

B

y1

x

Рисунок 8.1

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

c, (x, y) B, f (x, y) =

0, иначе.

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

8.2 Решение

Область B в соответствии с заданием имеет следующий вид:

На основании рисунка можно определить плотность вероятности в аналитической форме:

c, 2 − y ≤ x ≤ 6 − y,0 ≤ y ≤ 2,

f (x, y) =

0 0 ≤ y ≤ 1

Исходя из условия нормировки, можно записать, что:

Тогда можно записать:

1/ 8, 2 − y ≤ x ≤ 6 − y,0 ≤ y ≤ 2,

f (x, y) =

0 0 ≤ y ≤ 1

Математические ожидания величин X и Y:

http://do.ucoz.net