Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ТВиМС. Пример контрольной работы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

223.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

∞ ∞

6− y

mY = ∫ ∫ y × f ( x, y) ×dx × dy =

∫∫ y × dx × dy =

∫ y × dy ∫ dx =

∫ y × dy = 1

−∞−∞

2− y

Дисперсии величин X и Y:

∞ ∞

6− y

DX = ∫ ∫ x 2 × f ( x, y) ×dx × dy - m X2 =

∫∫ x 2 × dx × dy - 9 =

× ∫ dy ∫ x 2 × dx - 9 =

−∞−∞

2− y

208

;

× ∫

- 32 × y + 4 × y

× dy - 9

- 9 =

∞ ∞

6− y

DY = ∫ ∫ y 2 × f ( x, y) ×dx × dy - mY2 =

× ∫∫ y 2 × dx × dy -1 =

× ∫ y 2 × dy ∫ dx -1 =

∫ y 2 × dy -1 =

-1 =

−∞−∞

8 0

2− y

Среднеквадратичные отклонения величин X и Y:

σ X =

= 1,291 ;

σ Y =

= 0,577

5 / 3

1/ 3

Корреляционный момент:

∞ ∞

6− y

K XY = ∫ ∫ x × y × f ( x, y) × dx × dy - m X × mY =

∫∫ x × y × dx × dy - 3 ×1 =

× ∫ y × dy ∫ x × dx - 3 =

−∞−∞

2− y

× ∫ (16 - 4 × y) × y × dy - 3 = -

Коэффициент корреляции величин X и Y:

ρ XY =

K XY

-1/ 3

= -

= -0,447

5 / 3 × 1/ 3

σ X ×σ Y

9 Задача 9.130

9.1 Условие

По выборке одномерной случайной величины:

−получить вариационный ряд;

−построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);

−построить гистограмму равноинтервальным способом;

−построить гистограмму равновероятностным способом;

−вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

−вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

(γ = 0,95);

−выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и прове-

рить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

	Одномерная выборка №130:
-1,23	-1,06	1,55	1,63	-2,01	-1,03	0,48	0,69	-1,88	1,00
-1,67	-0,57	0,47	-0,11	-1,79	-1,02	1,39	-1,56	-0,55	-0,17
1,85	-1,93	0,89	-1,59	-1,04	-1,73	-0,66	-1,17	-1,60	1,57
0,35	2,12	-1,20	1,88	0,48	1,15	-0,67	-0,24	0,18	0,54
-1,17	0,26	-0,79	-1,83	0,64	-0,02	1,53	-0,45	-0,91	0,28
-1,17	-0,72	-1,40	1,56	1,67	-1,76	-0,55	-1,71	0,94	-1,83
-1,23	1,07	0,25	0,40	-2,45	-0,36	-0,55	-2,69	0,49	-1,04
-1,62	0,33	1,94	0,32	2,11	2,02	1,57	-1,91	0,62	-2,63
1,05	-0,33	0,47	-1,24	-1,79	-1,37	-0,13	-0,35	1,57	-0,12
1,93	1,50	0,17	-0,35	-0,31	2,18	-1,90	2,09	0,30	-1,34

9.2 Решение

Вариационный ряд – это значения выборки, отсортированные по возрастанию. Для рассматриваемой выборки вариационный ряд сведен в таблицу 9.1:

Таблица 9.1 –		Вариационный ряд
-2,69	-2,63	-2,45	-2,01	-1,93	-1,91	-1,90	-1,88	-1,83	-1,83
-1,79	-1,79	-1,76	-1,73	-1,71	-1,67	-1,62	-1,60	-1,59	-1,56
-1,40	-1,37	-1,34	-1,24	-1,23	-1,23	-1,20	-1,17	-1,17	-1,17
-1,06	-1,04	-1,04	-1,03	-1,02	-0,91	-0,79	-0,72	-0,67	-0,66
-0,57	-0,55	-0,55	-0,55	-0,45	-0,36	-0,35	-0,35	-0,33	-0,31
-0,24	-0,17	-0,13	-0,12	-0,11	-0,02	0,17	0,18	0,25	0,26
0,28	0,30	0,32	0,33	0,35	0,40	0,47	0,47	0,48	0,48
0,49	0,54	0,62	0,64	0,69	0,89	0,94	1,00	1,05	1,07
1,15	1,39	1,50	1,53	1,55	1,56	1,57	1,57	1,57	1,63
1,67	1,85	1,88	1,93	1,94	2,02	2,09	2,11	2,12	2,18

Эмпирическую функцию распределения можно определить как:

	0,		x ≤	)
	0,		x ≤	x1 ,
		/ N ,	)			)	, (i	= 1..N ),
	F * (x) = N x	/ N ,	xi < x			≤ xi+1	, (i	= 1..N ),
	1,			)
	1,		x > x		N
					N
где N –	объем вариационного ряда;
Nx –	число вариант ряда, меньших чем x.

Значения эмпирической функции для рассматриваемой выборки сведены в таблицу 9.2, а график функции приведен на рисунке 9.3.

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

Таблица 9.2 – Значения эмпирической функции

x	<-2,69	-2,69	-2,63	-2,45	-2,01	-1,93	-1,91	-1,90	-1,88		-1,83
F*(x)	0	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07		0,08
x	-1,79	-1,76	-1,73	-1,71	-1,67	-1,62	-1,60	-1,59	-1,56		-1,40
F*(x)	0,10	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19		0,20
x	-1,37	-1,34	-1,24	-1,23	-1,20	-1,17	-1,06	-1,04	-1,03		-1,02
F*(x)	0,21	0,22	0,23	0,24	0,26	0,27	0,30	0,31	0,33			0,34
x	-0,91	-0,79	-0,72	-0,67	-0,66	-0,57	-0,55	-0,45	-0,36		-0,35
F*(x)	0,35	0,36	0,37	0,38	0,39	0,40	0,41	0,44	0,45		0,46
x	-0,33	-0,31	-0,24	-0,17	-0,13	-0,12	-0,11	-0,02	0,17		0,18
F*(x)	0,48	0,49	0,50	0,51	0,52	0,53	0,54	0,55	0,56		0,57
x	0,25	0,26	0,28	0,30	0,32	0,33	0,35	0,40	0,47		0,48
F*(x)	0,58	0,59	0,60	0,61	0,62	0,63	0,64	0,65	0,66			0,68
x	0,49	0,54	0,62	0,64	0,69	0,89	0,94	1,00	1,05		1,07
F*(x)	0,70	0,71	0,72	0,73	0,74	0,75	0,76	0,77	0,78		0,79
x	1,15	1,39	1,50	1,53	1,55	1,56	1,57	1,63	1,67		1,85
F*(x)	0,80	0,81	0,82	0,83	0,84	0,85	0,86	0,89	0,90		0,91
x	1,88	1,93	1,94	2,02	2,09	2,11	2,12	2,18	>2,18
F*(x)	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99		1

При построении гистограмм весь диапазон значений x разбивается на M = int( N ) интервалов. Для рассматриваемой выборки M = 10.

Для построения гистограмм определяют следующие параметры:

−Aj, Bj – левая и правая границы j-го интервала;

−h j = B j - Aj – длина j-го интервала;

−vj – количество значений, попадающих в j-й интервал;

−p*j = v j / N – частота попадания в j-й интервал;

−f j* = p*j / h j – частота попадания в j-й интервал.

При равноинтервальном способе разбиения все интервалы одинаковой

длины:

)	)	)
			+ ( j -1) × h, j = 2, M ;
h j = h = (xN	- x1 ) / M , "j ;	Aj = x1

h = (2,18 − (−2,69)) /10 = 0,487

Параметры, полученные при равноинтервальном способе разбиения, сведены в таблицу 9.3, а соответствующая им гистограмма – на рисунке 9.1.

При равновероятностном способе разбиения все интервалы содержат одинаковое число выборочных значений:

v j = v = N / M , "j ; p*j = 1/ M , "j ;	)	)

	Aj = (x( j −1)v	+ x( j −1)v+1 ) / 2, j = 2, M ;
v = 100 /10 = 10 ;	p* = 1/10 = 0,1

Параметры, полученные при равновероятностном способе разбиения, сведены в таблицу 9.4, а соответствующая им гистограмма – на рисунке 9.2.

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

Таблица 9.3 – Параметры равноинтервального способа разбиения

j	Aj	Bj	hj	vj		p*j		f*j
1	-2,69	-2,203		3	0,03		0,061602
2	-2,203	-1,716		11	0,11		0,225873
3	-1,716	-1,229		12	0,12		0,246407
4	-1,229	-0,742		11	0,11		0,225873
5	-0,742	-0,255	0,487	13	0,13		0,266940
6	-0,255	0,232	0,487	8	0,08		0,164271
6	-0,255	0,232		8	0,08		0,164271
7	0,232	0,719		17	0,17		0,349076
8	0,719	1,206		6	0,06		0,123203
9	1,206	1,693		10	0,1		0,205339
10	1,693	2,18		9	0,09		0,184805
Таблица 9.4 –	Параметры равновероятностного способа разбиения
j	Aj	Bj	hj	vj		p*j		f*j
1	-2,69	-1,81	0,88					0,113636
2	-1,81	-1,48	0,33					0,303030
3	-1,48	-1,115	0,365					0,273973
4	-1,115	-0,615	0,5					0,2
5	-0,615	-0,275	0,34	10		0,1		0,294118
6	-0,275	0,27	0,545	10		0,1		0,183486
6	-0,275	0,27	0,545					0,183486
7	0,27	0,485	0,215					0,465116
8	0,485	1,11	0,625					0,16
9	1,11	1,65	0,54					0,185185
10	1,65	2,18	0,53					0,188679

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Рисунок 9.1 – Гистограмма равноинтервального способа

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

0.4

0.3

0.2

0.1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Рисунок 9.2 – Гистограмма равновероятностного способа

Точечная несмещенная состоятельная оценка математического ожидания (выборочное среднее) равна:

				1	N	= -17,02 = -0,1702
m*X	=		=		× ∑ xi
		x
				N
					i=1	100

Точечная несмещенная состоятельная оценка дисперсии равна:

	1	N				167,598396
DX* = S02 =		× ∑(xi -		)2	=		= 1,6929
			x
	N -1
		i=1			99

Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии равны:

× zγ

0 × zγ

2 × S02

x -

£ mX

£ x +

; S

- zγ ×

DX £

+ zγ ×

N -1

где zγ = arg Ф(γ / 2)

– значение аргумента функции Лапласа.

Для рассматриваемой выборки с учетом γ = 0,95:

				zγ = arg Ф(0,95 / 2) = arg Ф(0,475) = 1,96 ;
- 0,1702 -			×	1,96	£ mX	£ -0,1702 +				×	1,96	-0,4252 £ mX
	1,6929						1,6929							£ 0,0848 ;


100						100
													1,3304 £ DX
1,6929 -1,96 ×		2 ×1,6929			£ DX			£ 1,6929 + 1,96 ×	2 ×1,6929					£ 2,0554

99						99

Проверка с помощью критерия согласия χ2:

1) По виду равноинтервальной гистограммы можно выдвинуть гипотезу о равномерном законе распределения случайной величины.

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

2) Плотность и функция равномерного закона распределения имеют следующий вид:

	0,	x < a
f0		a £ x £ b, ;
f0	(x) = 1/(b - a),	a £ x £ b, ;
		x > b
	0	x > b

	0,	x < a
F0
F0	(x) = (x - a) /(b - a), a £ x £ b,
		x > b
	1	x > b

3) Параметры a и b, выраженные методом моментов равны:

	)				)				× S0 ;
	)				)
		a = x - 3		× S0 ; b = x + 3
)					)
)					)	= -0,1702 + 3 × 1,6929 = 2,0834
a = -0,1702 - 3 × 1,6929 = -2,4238					; b	= -0,1702 + 3 × 1,6929 = 2,0834
Тогда, гипотетический закон:
0,	x < -2,4238					0,				x < -2,4238
f0 (x) = 1/ 4,5072,	- 2,4238 £ x £ 2,0834, ;			F0 (x) = (x + 2,4238) / 4,5072, - 2,4238 £ x £ 2,0834,
0	x > 2,0834					0				x > 2,0834
4) Значение критерия согласия χ2 определяется по формуле:
			χ 2 = N ×∑ ( pi			- pi	)	2	,
				M		*		2
				i=1		pi

где pi – теоретическая вероятность попадания в i-й интервал; для равномерного распределения равна:

)	)
pi = F0 (Bi ) - F0 ( Ai ) = (Bi - Ai ) /(b	- a)

Вычисления критерия согласия сведены в таблицу:

Таблица 9.5 –	Вычисления критерия согласия
i	Aj	Bj	pj	p*j	(pi - p*i)2 / pi
1	-2,69	-2,203	0,049	0,03	0,0074
2	-2,203	-1,716	0,108	0,11	0,0000
3	-1,716	-1,229	0,108	0,12	0,0013
4	-1,229	-0,742	0,108	0,11	0,0000
5	-0,742	-0,255	0,108	0,13	0,0045
6	-0,255	0,232	0,108	0,08	0,0073
7	0,232	0,719	0,108	0,17	0,0356
8	0,719	1,206	0,108	0,06	0,0213
9	1,206	1,693	0,108	0,1	0,0006
10	1,693	2,18	0,087	0,09	0,0001

Контрольное соотношение выполняется:

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

1 - ∑ pi = 0 < 0,01

i=1

Критерий согласия равен:

χ2 = 100 × 0,0781 = 7,81

5)Число степеней свободы (с учетом количества параметров закона распределения s, равного 2) составит:

k = M − 1 − s = 10 − 1 − 2 = 7

Полученное из таблицы граничное значение критерия для заданного уровня значимости 0,05 и степени свободы 7 равно 14,07. Поскольку полученное значение критерия согласия составляет 7,81 и меньше граничного, то гипотеза о равномерном распределении верна.

Проверка с помощью критерия Колмогорова:

1)По виду графика эмпирической функции распределения можно выдвинуть гипотезу о равномерном законе распределения случайной величины.

2)Функция распределения и ее параметры, определенные с помощью метода моментов, совпадают с ранее рассмотренными.

3)Значения гипотетической функции распределения сведены в таблицу:

x	F0(x)	F*(x)	\|F0(x) - F*(x)\|	x	F0(x)	F*(x)	\|F0(x) - F*(x)\|
-2,01	0,0918	0,04	0,0518	0,35	0,6154	0,65	0,0346
-1,93	0,1096	0,05	0,0596	0,40	0,6265	0,66	0,0335
-1,91	0,1140	0,06	0,0540	0,47	0,6420	0,68	0,0380
-1,90	0,1162	0,07	0,0462	0,48	0,6443	0,70	0,0557
-1,88	0,1207	0,08	0,0407	0,49	0,6465	0,71	0,0635
-1,83	0,1317	0,10	0,0317	0,54	0,6576	0,72	0,0624
-1,03	0,3092	0,34	0,0308	0,62	0,6753	0,73	0,0547
-1,02	0,3115	0,35	0,0385	0,64	0,6798	0,74	0,0602
-0,31	0,4690	0,50	0,0310	0,69	0,6908	0,75	0,0592
-0,12	0,5111	0,54	0,0289	1,50	0,8706	0,83	0,0406
-0,11	0,5134	0,55	0,0366	1,53	0,8772	0,84	0,0372
0,33	0,6110	0,64	0,0290	1,55	0,8817	0,85	0,0317

Значение критерия Колмогорова:

λ= N × max F * (x) - F0 (x) = 100 × 0,0635 = 0,635

4)При доверительной вероятности 0,95 (для α = 0.05) табличное критическое значение равно λγ=1.34. Поскольку полученное значение критерия меньше критического, то гипотеза о равномерном распределении верна.

http://do.ucoz.net

	БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)
Рисунок 9.3 –	Графики эмпирической и гипотетической функций распределения
	случайной величины

10 Задача 10.145

10.1 Условие

По выборке двухмерной случайной величины:

−вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

−вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

−проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости (α = 0,05);

−	вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии		)	)	× x ;
		y( x) = a0		+ a1

−построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Двумерная выборка № 145:
(2,31; -1,61)	(-0,43; 0,01)	(-4,67; -2,65)		(1,16; -3,18)	(-7,46; -1,72)
(-3,15; -0,55)	(-3,10; 1,02)	(-2,53; -5,17)		(2,70; -4,24)	(-3,76; 3,26)
(5,30; -5,39)	(-0,04; -1,06)	(-1,47; -3,29)		(-3,22; 0,30)	(0,18; -2,65)
(-3,35; 2,71)	(-5,34; 2,00)	(1,89; -7,26)		(0,23; -1,29)	(1,98; -2,74)
(-7,88; 3,81)	(0,97; -1,04)	(0,29;	0,71)	(-3,55; 8,64)	(-1,35; -2,40)
(-0,48; 1,15)	(-2,38; -4,17)	(-2,42; 4,62)		(-0,91; 0,40)	(4,53; -4,36)
(-1,13; -1,29)	(-1,53; -4,90)	(-2,77; -1,38)		(-2,04; -1,68)	(-8,57; 5,07)
(-0,94; 0,73)	(4,08; -3,40)	(1,34;	1,28)	(-4,32; 0,11)	(-6,53; 0,82)
(-3,12; -2,58)	(-2,21; 3,51)	(-6,06;	-3,34)	(-4,14; -2,05)	(2,34; -2,53)
(-0,30; -1,80)	(0,76; -3,32)	(-0,97;	-4,99)	(2,85; 0,11)	(2,68; -3,76)

http://do.ucoz.net

БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)

10.2 Решение

Точечные состоятельные несмещенные оценки математического ожидания случайных величин x, y равны:

= - 66,53 = -1,3306 ; m* =

m*X =

× ∑ xi

= - 51,53

= -1,0306

∑

i=1

Точечные состоятельные несмещенные оценки дисперсии случайных величин x, y равны:

502,14

DX* = S02

(x) =

× ∑(xi -

= 10,24779 ;

N -1

i=1

467,90

DY* = S02

(x) =

× ∑( yi -

= 9,548928

N -1

i=1

Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна:

		N					- 237,06 = -4,83805
K XY* =	1	× ∑(xi -		)× (yi -		) =
			x		y
	N -1
		i=1					49

Точечная состоятельная оценка коэффициента корреляции равна:

RXY* =		K XY*	=	- 4,83805	= -0,48908
		(x)× S0 (y)
	S0			10,24779 × 9,548928

Доверительный интервал с надежностью γ для коэффициента корреляции R*XY и случая двумерного нормального распределения равен:

e2×a -1	< RXY	<	e2×b -1	,

e2×a +1			e2×b +1

где коэффициенты a и b определяются на основе значения из таблицы Лапласа (для γ = 0,95 значение Zγ = 1,96):

	1		1 + RXY*			Zγ		1	1- 0,48908		1,96

									×ln	-
a =	2	×ln	*	-	N - 3		=	2	×ln	-	50 -	= -0,82074 ;
	2		1 - RXY		N - 3			2	1 + 0,48908		50 -	3
	1		1 + RXY*			Zγ		1	1 - 0,48908		1,96

									×ln	+
b =		×ln	*	+		N - 3	=		×ln	+		= -0,24895
	2		1 - RXY			N - 3		2	1+ 0,48908		50 - 3

Тогда доверительный интервал:

e2×(-0,82074) -1	< RXY	<	e2×(-0,24895)	-1	-0,67547 < RXY < -0,24393
			e2×(-0,24895)
e2×( -0,82074) +1				+1

http://do.ucoz.net

			БГУИР: Дистанционное обучение (неофициальный сайт)
	Для проверки гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости опре-
деляется значение критерия t, равного:
			t = RXY* × N - 2 = - 0,48908 × 50 - 2 = -3,88474
				1 - (RXY* )2		1 - (-0,48908)2
	Поскольку табличное значение для распределения Стьюдента с 48 степе-
нями свободы и доверительной вероятности 0,95 (для α = 0.05), равное 2,01 мень-
ше модуля значения критерия t, то можно сделать вывод о том, что случайные ве-
личины x, y коррелированны между собой.
	Параметры a0			и a1 линии регрессии			)	)
	Параметры a0			и a1 линии регрессии			y( x) = a0	+ a1 × x вычисляются по методу
наименьших квадратов:
)	K *	=	- 4,83805	)		)	= -1,0306 + 0,47211 × (-1,3306) = -1,65879
a =	XY	=		= -0,47211; a		= y - a × x	= -1,0306 + 0,47211 × (-1,3306) = -1,65879
1	S02 (x) 10,24779				0	1
	Соответственно уравнение линии регрессии примет следующий вид:
				y(x) = -1,65879 - 0,47211× x
	Рисунок 10.1 –			Диаграмма рассеивания y(x) и линия регрессии y(x)
				http://do.ucoz.net

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
01.04.2014270.72 Кб175ТВиМС типовой расчет 1 вариант ВСЕ 10 задач.docx
#
01.04.2014519.17 Кб122ТВиМС типовой расчет 17 вариант.doc
#
01.04.2014777.52 Кб167ТВиМС, ВМСиС, Заочка, контрольная, 2011, Вариант 21.docx
#
01.04.20141.35 Mб255Твимс, КР (11 задач).doc
#
01.04.2014210.16 Кб216ТВиМС- вариант 22.docx
#
01.04.2014223.74 Кб84ТВиМС. Пример контрольной работы..pdf
#
01.04.20141.02 Mб104Твимс.doc
#
01.04.2014401.42 Кб107Твимс.docx
#
01.04.2014551.94 Кб172Теория вероятностей.doc
#
01.04.2014551.75 Кб51Тест.pdf
#
01.04.2014739.61 Кб87Типовой расчет.pdf