Задание №6.20
Начальные данные:
Случайная величина X задана плотностью вероятности:
Определим сначала константу "c". Для этого воспользуемся условием нормировки:
Поскольку наша функция существует не на всей области, а только в интервале [a,b], то условие нормировки в данном случае записывается так:
Подставим наши начальные данные и найдем константу "c":
Теперь найдем математическое ожидание:
Дисперсия нашей непрерывной величины X равна:
Теперь найдем функцию распределения величины X:
У нас имеется 3 интервала:
1)<-1
2)[-1,1]
3)>1
На первом интервале функция плотности вероятности не существует, поэтому она равна 0, значит и функция распределения на этом интервале тоже равна 0.
На втором интервале функция распределения изменяется по некоторому закону, увеличиваясь от 0 до 1.
На третьем интервале функция распределения не изменяется и остается равной 1.
Осталось найти вероятность попадания величины X в интервал [,]:
Задание №7.20
Начальные данные:
Построим график случайной величины Y=(x):
Поскольку величина X равномерно распределена на промежутке [a;b], то ее плотность вероятности равна:
Определим обратные функции Y=(y) на интервале [0;2.718):
Определим обратные функции Y=(y) на интервале [2.178;7.389]:
Плотность вероятности величины y равна:
Задание №8.20
Начальные данные:
Получаем следующую фигуру:
Поскольку двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки нашей области и равна константе "c", то найдем данную величину, используя условие нормировки:
Однако стоит учесть то, что это условие нормировки для всей области определения. В нашем случае функция ограничена, поэтому условие нормировки запишется так:
D
, где D - наша область
Найдем недостающий параметр "c":
Для того чтобы высчитать коэффициент корреляции между величинами X и Y, необходимо до этого высчитать их математические ожидания, затем дисперсии, а потом уже и сам коэффициент.
Высчитаем математические ожидания наших величин:
Теперь найдем дисперсии X и Y:
Определяем корреляционный момент:
Теперь найдем необходимый коэффициент корреляции:
Задание №9.20
Исходные данные:
Решение:
Математическое ожидание величины U:
Математическое ожидание величины V:
Дисперсия величины U:
Дисперсия величины V:
Математическое ожидание между величинами U и V:
Корреляционный момент между величинами U и V:
Коэффициент корреляции между величинами U и V:
Математическое ожидание величины x22:
Математическое ожидание величины x1.x2:
Математическое ожидание величины x1.x3:
Математическое ожидание величины x2.x3:
Одномерная выборка
Построим вариационный ряд:
Сделаем таблицу для построения графика эмпирической функции F*(x), которая определяется формулой:
k - количество одинаковых чисел в выборке,
m - номер числа в вариационном ряду
График эмпирической функции представлен в конце задания вместе с графиком гипотетической функции F0(x).
Определим количество непересекающихся и примыкающих друг к другу M интервалов:
где - количество чисел в выборке
Построим гистограмму равноинтервальным методом:
Определим длину интервала:
Построим гистограмму равновероятностным методом:
Вычислим точечные оценки числовых характеристик:
Состоятельная оценка математического ожидания:
Несмещенная состоятельная оценка дисперсии:
Несмещенная состоятельная оценка среднеквадратического отклонения:
Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с надежностью =0.95.
Доверительный интервал для математического ожидания:
Согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n закон распределения можно считать нормальным, поэтому воспользуемся следующей формулой для случайной величины X с неизвестным законом распределения:
где z=arg(/2)=arg(0.475)=1.96 - значение аргумента функции Лапласа, тогда интервал равен:
Доверительный интервал для дисперсии:
Выдвинем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины:
Определим оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения:
Проверим гипотезу с помощью критерия 2. Вычислим значения критерия 2 на основе равноинтервального статистического ряда. Теоретические вероятности попадания случайной величины вычислим по формуле:
Данные для расчета теоретических вероятностей представлены в таблице:
Определим значение критерия 2 по формуле:
Найдем значения критерия для каждого значения, а затем общий.
Тогда, значение критерия равно:
Определяем число степеней свободы:
k=M-1-s,
где s - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H0 закон распределения,
При заданном уровне значимости =0.05 сравним полученное значение критерия 2 со значением 2,k из таблицы распределения 2, которое равно:
Поскольку 2<2,k, то гипотеза H0 принимается.
Проверим гипотезу с помощью критерия Колмогорова:
По графику определим максимальное отклонение между функциями F*(x) и F0(x):
Определяем значение критерия:
Из таблицы распределения Колмогорова выбираем критическое значение , где =1-=0.95
=1.36
Поскольку , то гипотеза H0 принимается.
Построим график гипотетической функции F0(x) совместно с графиком эмпирической функции распределения F*(x):