Задание №1.20
Из колоды в 36 карт (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т) наугад извлекаются три карты. Определить вероятность того, что будут вытащены карты одной масти.
Решение:
A - вытащены карты одной масти
Вероятность вытащить первую карту (событие B) будет равна 1, т.к. не имеет значения, какой она будет масти:
Вероятность вытащить 2 карту той же масти (событие C) вычисляется по классической формуле вероятности:
Вероятность вытащить 3 карту той же масти (событие D) вычисляется по классической формуле вероятности:
Тогда, вероятность вытащить 3 карты одной масти равна:
Задание №2.20
Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5 p6=0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход.
Решение:
A1 - отказ 1 элемента
A2 - отказ 2 элемента
A3 - отказ 3 элемента
A4 - отказ 4 элемента
B - сигнал прошел с входа на выход
C - сигнал прошел по ветви 3-4
D - сигнал прошел по ветви 1-3-4
Вероятности отказа элементов:
p1=p(A1)=0.1
p2=p(A2)=0.2
p3=p(A3)=0.3
p4=p(A4)=0.4
Вероятности работы элементов:
q1=1-p1=1-0.1=0.9
q2=1-p2=1-0.2=0.8
q3=1-p3=1-0.3=0.7
q4=1-p4=1-0.4=0.6
Определим вероятности событий C и D, используя формулы:
Определим вероятность события B:
Задание №3.20
Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали второй и третий блоки.
Решение:
H1 - отказали первый и второй блоки
H2 - отказали первый и третий блоки
H3 - отказали второй и третий блоки
A - два блока вышли из строя
Определим вероятности гипотез Hi:
Определим вероятности событий A/Hi:
Определим вероятность события A, используя формулу Байеса:
Задание №4.20
A - изготовление продукции высшего сорта
p(A)=0.9
q(A)=1-p(A)=1-0.9=0.1
m0=340 - наивероятнейшее число изделий высшего сорта
Для определения того, сколько необходимо изготовить изделий высшего сорта, воспользуемся формулой:
Значит, необходимо изготовить 377 изделий.
Задание №5.20
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Решение:
Вычислим математическое ожидание нашей дискретной величины:
Теперь найдем дисперсию нашей дискретной величины:
Рассчитаем график функции распределения F(x):
Теперь построим график функции распределения F(x):
