21. Класс l

L – класс ленейных ф-ций.

Ф-ция f(x1,…xn) наз. линейной, если ее представление в виде полинома Жегалкина имеет вид:

f(x1,…xn)=a0a1x1a2x2…anxn.

Слогаемые aixi наз. линейными, а все остальные – нелинейными.

линейные: 0, 1, x, x=x1, .

нелинейные: &, , , , .

Каждая линейная ф-ция однозначно определяется своими коэфициэнтами, поэтому |L|=2n+1.

т.к. суперпозиция линейных ф-ций – линейная ф-ция, то класс линейных ф-ций замкнут: |L|=L.

Лема о нелинейных ф-циях: Если ф-ция нелинейна, то из нее путем подстановки вместо переменных, констант, тождественной ф-ции и отрицания самой ф-ции можно получить коньюнкцию.

Док-во: Пусть fL. Тогда в ее представлении в виде полинома Жегалкина имеется наименьшее слагаемое. Будем предполагать, что в это слогаемое входят переменные x1 и x2. Тогда (3, 4,…,n):

f(x1, x2, 3, 4,…,n)=x1x2x1x2.

(в противном случае, переменные x1, x2 были бы фиктивными).

(x1, x2)= x1x2x1x2.

По ф-ции построем ф-цию S:

S(x1, x2)=(x1, x2).

Можно показать, что S(x1, x2)=x1&x2.

	T0	T1	S	M	L
1	-	+	+	+	+
x	+	+	+	+	+
x	-	-	-	-	+

Из таблицы видно, что основные замкнутые классы попарно не совпадают.

22. Теорема о функциональной полноте. Проверка системы функций на полноту.

Теорема. Система функций D является полной тогда и только тогда, когда она целиком не входит ни в один из основных замкнутых класов T0,T1,S,M,L

Доказательство.

Пусть система D полностью не входит ни в один из основных замкнутых классов. Тогда в D найдутся ф-и f0T0,f1T1,fsS,flL, fmM.Покажем, что конъюнкцию и отрицание можно представить в виде суперпозиции этих пяти функций. Из этого будет следовать, что это множество образует полную систему функций. Возьмём функцию f0 которая не сохраняет 0. Это означает f(0,0,...,0)=1

I f0(1,1,...,1)=0

II f0(1,1,...,1)=1

I f0(x,x,...,x)=x

fsS. Из несамодвойственной ф-иfs путём подстановки вместо переменных тождественной функции, отрицания можно получить константу. Вторую константу можно получить путём навешивания отрицания над первой.

Из flL при помощи тождественной функции, отрицания и констант строится конъюнкция.

В I случае в построении участвовали f0,fs,fl

II f(x,x,...,x)=1

Рассмотрим f1T1

Она на единичном наборе принимает нулевые значения. Тогда результат подстановки вместо переменных в функцию f1 функции f0(x,x,...x) даёт значение ноль. Из немонотонной ф-и используя 0,1 и тождественную функцию можно построить отрицание. Из нелинейной функции путем подстановки констант, отрицаний, тождественной функции можно получить конъюнкцию.

23. Задача минимизации булевых функций.

Любую булеву функцию можно представить в виде ДНФ, при чем это представление не единственно.

Они отличаются числом элементарных конъюнкций, букв, отрицаний. Качество такого представления оценивается при помощи индексов простоты.

Задача минимизации: необходимо найти такое представление функции в виде ДНФ, которое имеет минимальный индес простоты.

Рассматривается 3 отдельных задачи:

1)минимизация числа конъюнкций

2)минимизация числа букв

3)минимизация числа отрицаний

Эти задачи можно решать следующим образом:

1)найти всевозможные представления ф-и в виде ДНФ с ограниченным числом конъюнкций(букв, отрицаний)

2)среди этих предствалений найти то, которое имеет минимальный индекс простоты.

Редко применим.