7. Отображение. Виды отображений

Отображение это бинарное отношение на паре множеств А, В, такое, что каждый элемент из множества А находится в этом отношении с единственным элементом множества В.

Отображение — закон, который устанавливает связь всех элементов из А с элементами В, такой, что каждый элемент из А находится в этой связи с единственным элементом В. Прообразом(-ами) элемента множества В называется(-ются) тот(те) элемент(ы) множества А, из которого (которых) выходит дуга в этот элемент множества В.

Совокупность всех прообразов называется полным прообразом.

Если a:A→B и множества А, В имеют числовую природу, то отображение называют функцией.

Отображение вида a:С^n→C называют операцией, где С — произвольное множество.

Пусть А — упорядоченное множество a_*А называется наименьшим (наибольшим) элементом множества А, если для любого aA, a_*≤а(a_*≥а)

Элемент a_* из множества А называется максимальным (минимальным), если в множестве А не существует элементов aA, a_*>а(a_*<а)

Если упорядоченное множество имеет наименьший(наибольший) элемент, то только один. Если элемент наибольший, то он максимальный, обратно неверно. Если элемент наименьший, то он минимальный, обратное неверно.

a:С^n→C — операция

Если a() то в качествве С можно выбрать например I(универсальное множество) или элементы булеана.

Отображение a:А^n→{1,0} называется предикатом.

Во всех примерах n это арность отображения. А — количество элементов если a функция.

Отображение можно задавать графически, аналитически, таблицами и т.д

Над отображениями, как над бинарными отношениями, можно производить операции ,,, ^(-1), *. Результатом будет отношение, которое вообще говоря, не является отображением.

Теорема. Объединение(пересечение) двух отображений множества А в множество В, тогда и только тогда является отображением, когда оба заданых отображения совпадают друг с другом.

Виды отображений

Среди отображений выделяют три основных вида:

1)сюръективное

2)биективное

3)инъективное

Даными видами множество отображений не ограничивается.

1)Отображение a:A→B называется сюръективным, если аждый элемент из множествa В имеет прообраз.

В графическом изображении сюръективного отображения каждый элемент множества В имеет по крайней мере 1 входящую дугу.

a(x)=b xA,bB (1)

Если a — сюръективное отображение, то уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение.

2)Отображение a:A→B называется биективным (взаимно однозначным), если при этом отображении каждый элемент множества В имеет в точности один прообраз.

Каждый элемент множества В имеет в точности одну дугу.

Уравнение (1) имеет в точности одно решение.

Отображение является биективным, если оно одновременно и сюръективно и биективно.

3)Отображение a:A→B называется инъективным, если при этом отображении различные элементы отображаются различно.

В графическом изображении каждый элемент множества В имеет не больше одной входящей дуги.

Уравнение (1) имеет не более одного решения.

8. Отношение порядка. Изоморфизм упорядоченных множеств.

Бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка, если оно одновременно рефлективно, антисимметрично и транзитивно.

Пусть р-произвольное отображение декартового произведения

(a1,a2,...,an)(A1,A2,...An) (возможноА1=А2=...An) на множестве, состоящее из 2 элементов {1,0}. Такое отображение называется предикатом.

Совокупность тех наборов (a1,a2,...,an) которые р отображает в истину задает n-арное отношение R. RA1*A2*...*An которые однозначно определяет р.

Два упорядоченных множества называются изоморфными (одинаковыми с точки зрения структуры) если существует также биективное отображение a:A1→А2 такое что если ar1b=>a(a)r2a(b)

Для изображения конечных упорядоченных множеств используется диаграмма Хассе. Идея диаграмм Хассе состоит в том, что мы не рисуем того, что мы можем установить по рефлексивности и транзитивности. Два элемента называются сравнимыми, если arb или bra. Упорядоченное множество, любые два элементы которого сравнимы, называется линейно-упорядоченным.

2^А нельзя линейно упорядочить отношением включения.

Линейно упорядоченое множество называют цепью.